De veerconstante van een spiraalveer: welke meting vertrouw je?
Bij een practicum bepaalt een leerling de veerconstante C van een spiraalveer. Hij hangt de veer aan een statief en meet de lengte met een liniaal met mm-schaal; hij leest af op ±0,5 mm. De onbelaste lengte is 12,0 cm. Daarna hangt hij massa's van 50, 100, 150, 200, 250 en 300 g aan de veer en meet steeds de lengte: 13,2 cm; 14,5 cm; 15,8 cm; 17,0 cm; 18,3 cm en 21,1 cm. Vervolgens laat hij de veer met 250 g trillen. Hij telt 20 trillingen en meet met een stopwatch 10,8 s, dus T = 0,54 s. Met T = 2π√(m/C) vindt hij C = 34 N/m. Zijn practicumpartner vertrouwt dat niet: volgens haar is de statische meting betrouwbaarder, maar de leerling wijst erop dat zijn grafiek bij 300 g duidelijk afwijkt. De docent vraagt hen niet op gevoel te kiezen, maar een meting te bedenken die de twee mogelijke verklaringen voor het verschil echt uit elkaar trekt. De veer zelf weegt 28 g.
1. Bepaal C uit de statische metingen. Laat zien welke meetpunten je gebruikt, waarom je de andere weglaat, en geef de uitkomst in het verantwoorde aantal significante cijfers.
Read the worked answer
Gebruik F = C·u met F = m·g (g = 9,81 m/s²) en u = L − 12,0 cm.
| m (g) | u (cm) | C = F/u (N/m) |
|---|---|---|
| 50 | 1,2 | 0,491/0,012 = 41 |
| 100 | 2,5 | 0,981/0,025 = 39 |
| 150 | 3,8 | 1,47/0,038 = 39 |
| 200 | 5,0 | 1,96/0,050 = 39 |
| 250 | 6,3 | 2,45/0,063 = 39 |
| 300 | 9,1 | 2,94/0,091 = 32 |
De eerste vijf punten liggen op een rechte lijn door de oorsprong (constante C). Het punt bij 300 g wijkt ongeveer 20 % af: bij 9,1 cm uitrekking raken de windingen elkaar of is de veer plastisch vervormd, zodat F ∝ u daar niet meer geldt. Dat punt laat je weg - maar je vermeldt in je verslag waarom, anders lijkt het of je een lastig punt hebt weggemoffeld.
Gemiddelde van de vijf bruikbare waarden: C ≈ 39 N/m = 3,9·10¹ N/m. Twee significante cijfers, omdat vooral de kleinste uitrekking (1,2 cm, afgelezen op ±0,1 cm) de nauwkeurigheid beperkt.
2. De dynamische meting geeft 34 N/m, de statische 39 N/m. Beredeneer in welke richting een systematische fout de waarde duwt en welke waarde je in je verslag als eindresultaat opneemt.
Read the worked answer
Uit de dynamische meting: C = 4π²m/T² = (39,5 × 0,250)/0,54² = 9,87/0,2916 = 33,8 ≈ 34 N/m, dus 13 % lager dan 39 N/m. Een te grote T geeft een te kleine C; de vraag is dus wat T te groot maakt.
- Massa van de veer zelf. Er trilt effectief (m + m_veer/3) mee, dus T is groter dan je met m alleen verwacht → C komt te klein uit. De richting klopt. Met 13 % afwijking zou m_veer/3 ≈ 38 g nodig zijn, dus een veer van ruim 100 g; deze veer weegt maar 28 g, dus dit verklaart hooguit een kwart van het verschil.
- Telfout of reactietijd. 20 geteld terwijl het er 22 waren, geeft T = 10,8/22 = 0,49 s en C = 41 N/m. Eén trilling verschil is al 5 % in T en 10 % in C. De richting klopt dus ook.
Aan de richting van de afwijking alleen heb je niets. Rapporteer 39 N/m: bij de statische meting speelt de massa van de veer geen rol, want de onbelaste lengte dient bij elke meting als nulstand en de extra uitrekking is zuiver m·g/C. De dynamische waarde noem je als controle, met de gevonden afwijking als discussiepunt.
3. Ontwerp een meting waarmee je beslist of de veermassa dan wel een telfout de oorzaak is. Leg uit welke grafiek je maakt en welke twee kenmerken daaruit de beslissing geven.
Read the worked answer
Zet T² uit tegen m. Uit T = 2π√((m + m_veer/3)/C) volgt:
T² = (4π²/C)·m + (4π²/C)·(m_veer/3)
- Helling = 4π²/C
- Afsnijding bij m = 0 = (4π²/C)·(m_veer/3)
- Verhouding afsnijding/helling = m_veer/3
Twee scenario's:
- De veermassa is de oorzaak. De helling levert C = 39 N/m, gelijk aan de statische meting, en afsnijding/helling komt overeen met een derde van de gewogen veermassa (28/3 ≈ 9,3 g).
- Een systematische schaalfout in T (telfout, te laat starten). Alle trillingstijden zijn met dezelfde factor k te groot. Dan worden helling én afsnijding met k² vermenigvuldigd: de helling geeft een te kleine C, maar de verhouding afsnijding/helling blijft precies m_veer/3.
De beslissing valt dus op twee kenmerken: (a) is de helling gelijk aan de statische C, en (b) klopt de verhouding afsnijding/helling met de gewogen veermassa? Doe minstens vijf massa's, weeg de veer op een balans en neem 20 trillingen, zodat één trilling telfout maar 5 % is.