Geluidssnelheid met een resonantiebuis: waar zit de fout van 26 m/s?
Twee leerlingen bepalen de geluidssnelheid met een resonantiebuis: een glazen buis van 1,00 m waarvan de lengte met een zuiger verstelbaar is, en een stemvork van 512 Hz. De zuigerstand lezen ze af op 1 mm nauwkeurig. Bij het zoeken naar resonantie horen ze een duidelijke versterking bij een buislengte van 15,5 cm en opnieuw bij 49,0 cm; bij 82,5 cm verwachten ze de volgende. De kamertemperatuur is 20,0 °C. Leerling A rekent met de eerste resonantie alleen: λ = 4 × 0,155 = 0,620 m en vindt 317 m/s. Leerling B gebruikt beide resonanties. Hun docent wijst erop dat de literatuurwaarde bij 20 °C 343 m/s is en vraagt hen niet alleen te zeggen wie er gelijk heeft, maar ook waarom de methode van A zelfs met een duurdere, nauwkeuriger liniaal niet beter wordt. Leerling A stelt daarop voor de hele meting over te doen met een stemvork van 1024 Hz.
1. Laat met een berekening zien dat 49,0 cm bij de tweede resonantie hoort en niet bij de derde, en bereken de geluidssnelheid.
Read the worked answer
Bij een buis die aan één kant gesloten is (de zuiger), geldt resonantie als L + e = (2n−1)·λ/4. De afstand tussen twee opeenvolgende resonanties is dus altijd λ/2.
-Toets met de frequentie: bij 512 Hz hoort λ ≈ 343/512 = 0,670 m, dus λ/2 = 0,335 m. Het gemeten verschil is 49,0 − 15,5 = 33,5 cm. Dat klopt precies met λ/2.
- Als 49,0 cm de derde resonantie was, zou het verschil met de eerste gelijk zijn aan λ = 33,5 cm, en dan zou de stemvork bij v = λ·f = 0,335 × 512 = 172 m/s horen - ver onder de geluidssnelheid. Die toewijzing is dus onmogelijk.
Met λ = 2(L₂ − L₁) = 2 × 0,335 = 0,670 m volgt v = λ·f = 0,670 × 512 = 343 m/s. Ook de verwachte volgende resonantie (49,0 + 33,5 = 82,5 cm) past binnen de buis van 1,00 m, dus het patroon is consistent.
2. Bereken de eindcorrectie en leg daarmee uit waarom leerling A op 317 m/s uitkomt. Is dit een toevalsfout of een systematische fout?
Read the worked answer
Voor de eerste resonantie geldt L₁ + e = λ/4, met λ = 0,670 m: e = 0,670/4 − 0,155 = 0,1675 − 0,155 = 0,0125 m ≈ 1,3 cm. (Controle: e = (L₂ − 3L₁)/2 = (0,490 − 0,465)/2 = 0,0125 m.)
Fysisch: de drukbuik ligt niet in het vlak van de open opening, maar iets daarbuiten, omdat de lucht net buiten de buis meebeweegt. De buis gedraagt zich alsof hij 1,3 cm langer is. Die lengte hangt vooral af van de buisstraal (ongeveer 0,6 × de straal) en niet van de frequentie.
Leerling A neemt λ/4 = 0,155 m en vergeet dus 1,25 cm. Dat is 1,25/16,75 = 7,5 % van λ/4, dus zijn λ en daarmee zijn v komen 7,5 % te laag uit: 343 × 0,925 ≈ 317 m/s. Precies wat hij vindt.
Dit is een systematische fout: de fout zit in de aanname van de meetmethode, niet in het aflezen. Elke herhaling met dezelfde opstelling geeft weer ongeveer 317 m/s, hoe nauwkeurig de liniaal ook is. Systematische fouten spoort je alleen op door de methode te veranderen of door een tweede, onafhankelijke meting te doen.
3. Beoordeel het voorstel om de meting over te doen met een stemvork van 1024 Hz. Wordt de meting daarmee beter of slechter? Betrek zowel de eindcorrectie als de afleesnauwkeurigheid in je antwoord.
Read the worked answer
Bij 1024 Hz is λ/4 = 343/(4 × 1024) = 8,4 cm. De eerste resonantie ligt dan rond 8,4 − 1,3 = 7,1 cm.
- Eindcorrectie: e is een vrijwel vaste lengte (ongeveer 0,6 × de buisstraal) en schaalt niet mee met de frequentie. Bij 512 Hz is e 7,5 % van λ/4, bij 1024 Hz al 15 %. Het voorstel van A maakt de fout dus juist groter, niet kleiner.
- Afleesnauwkeurigheid: de afstand tussen twee resonanties is bij 1024 Hz nog maar λ/2 = 16,8 cm in plaats van 33,5 cm. Dezelfde afleesfout van 1 mm is dan 2× zo groot relatief, en de onzekerheid in v wordt dus 2× zo groot.
Het voorstel wordt afgekeurd. Wat wel werkt: twee opeenvolgende resonanties gebruiken, want in het verschil L₂ − L₁ valt e volledig weg; dat is de reden dat B op 343 m/s uitkomt zonder de eindcorrectie te kennen. Verder helpt een buis met kleinere diameter (kleinere e) of meer resonanties meten en de helling van L tegen (2n−1) gebruiken. De temperatuur (20,0 °C, theoretisch 331,3 + 0,606 × 20,0 = 343,4 m/s) is met 343 m/s al in overeenstemming en hoeft niet als verklaring te worden ingezet.