Een magneet door een spoel: twee pieken, één fluxverandering
Een leerling laat een staafmagneet van 0,10 kg door een spoel vallen. De spoel heeft 1000 windingen, is 6,0 cm lang en heeft een doorsnede van 4,0 cm². De weerstand van spoel en aansluitdraden samen is 12 Ω. Een datalogger legt de inductiespanning U(t) vast. Het resultaat: twee scherpe pieken, eerst +3,8 V en even later −3,8 V, met daartussen een stuk van ongeveer 0 V zolang de magneet zich in de spoel bevindt. Het eerste deel van de eerste piek duurt 50 ms en heeft een gemiddelde spanning van 2,4 V. Met een lichtsensor meet de leerling dat de magneet 150 ms over de spoel doet, terwijl hij bij vrije val over 6,0 cm 111 ms nodig zou hebben. De leerling wil de effectieve waarde van de inductiespanning berekenen met U_piek/√2 en wil ook weten hoeveel lading er tijdens de eerste piek door de kring gaat.
1. Verklaar met de flux waarom de grafiek uit twee tegengestelde pieken bestaat met daartussen ongeveer 0 V, en beoordeel of de leerling U_piek/√2 mag gebruiken.
Read the worked answer
De flux door de spoel is Φ = B·A, met B het veld van de magneet ter hoogte van de spoel. De inductiespanning is U = −N·dΦ/dt; alleen een verandering van Φ levert spanning.
- De magneet komt de spoel binnen: Φ loopt op van 0 tot zijn maximum, dus dΦ/dt > 0 en U is positief.
- De magneet zit helemaal in de spoel: vrijwel alle veldlijnen gaan al door de spoel, dus Φ is bijna constant en dΦ/dt ≈ 0. De spanning is dan ongeveer 0 V, ook al is het magneetveld binnen de spoel sterk.
- De magneet verlaat de spoel: Φ neemt weer af, dΦ/dt < 0 en U is negatief. De twee pieken zijn vrijwel even groot omdat dezelfde Φ-verandering nu in omgekeerde richting plaatsvindt.
U_piek/√2 mag hier niet. Die factor hoort bij een zuivere sinus: hij komt uit het middelen van sin² over een periode. Deze pulsen zijn kort en verre van sinusvormig (twee scherpe pieken met een nulstuk ertussen), dus de effectieve waarde moet uit de hele grafiek komen: U_eff = √(gemiddelde van U² over de tijd). Hetzelfde geldt voor de formule voor het gemiddelde van een wisselspanning: die is hier niet van toepassing.
2. Bereken de lading die tijdens de eerste piek door de kring gaat en de maximale fluxverandering in de spoel. Leg uit waarom de lading niet van de valsnelheid afhangt en de piekspanning wel.
Read the worked answer
De stroom is I = U/R, dus de doorgelaten lading is: Q = ∫I dt = (1/R)·∫U dt = (N/R)·ΔΦ
Uit de meetgegevens: ∫U dt over het eerste deel = U_gem · Δt = 2,4 × 50·10⁻³ = 0,12 V·s. Dus N·ΔΦ = 0,12 Wb en ΔΦ = 0,12/1000 = 1,2·10⁻⁴ Wb. Q = 0,12/12 = 1,0·10⁻² C = 10 mC.
Een schatting van het veld: B = Φ/A = 1,2·10⁻⁴/4,0·10⁻⁴ = 0,30 T. Dat is een realistische waarde voor het veld van een staafmagneet in een kleine spoel.
Waarom de snelheid niet uitmaakt: Q = (N/R)·ΔΦ bevat geen tijd. Valt de magneet twee keer zo snel, dan is Δt twee keer zo klein, maar U = N·ΔΦ/Δt twee keer zo groot; de oppervlakte onder de piek (∫U dt = N·ΔΦ) blijft gelijk. De piekspanning is dus wel snelheidsafhankelijk (U ∝ v), de totale doorgelaten lading niet. Dat is dezelfde reden waarom een ballistische galvanometer met een korte stoot een lading meet die onafhankelijk is van hoe snel de stoot plaatsvond.
3. Verklaar met de wet van Lenz waarom de magneet 150 ms doet over de spoel in plaats van 111 ms, en beredeneer of de magneet bij een veel langere spoel een constante snelheid kan bereiken.
Read the worked answer
Tijdens het binnendringen neemt de flux toe. Volgens Lenz wekt de inductiestroom een magneetveld op dat die toename tegenwerkt: de kant van de spoel waar de magneet binnenkomt gedraagt zich als een gelijknamige pool. De spoel oefent dus een kracht op de magneet uit tegengesteld aan de beweging. Bij het verlaten keert de stroomrichting om en is de kracht opnieuw remmend. De magneet verliest daardoor snelheid: 6,0 cm afleggen in 150 ms in plaats van 111 ms betekent een duidelijk lagere eindsnelheid, dus een aanzienlijk deel van de zwaarte-energie (m·g·h = 0,10 × 9,81 × 0,060 ≈ 59 mJ) is als warmte in de 12 Ω weerstand terechtgekomen.
Bij een lange spoel: de remmende kracht is evenredig met de fluxverandering per seconde en dus met de snelheid (F ∝ v). De zwaartekracht is constant. Zodra F_rem = m·g is de nettokracht nul en beweegt de magneet met constante snelheid - precies zoals bij een parachutist. Maar dat geldt alleen zolang de flux echt verandert: in het midden van een korte spoel is dΦ/dt ≈ 0, daar is geen remmende kracht en versnelt de magneet weer. Bij een lange spoel met een geleidelijk fluxprofiel stelt zich een eindsnelheid in; bij deze korte spoel is het een opeenvolging van remmen en versnellen.