Figurserie med pil og prikker
I en oppgaveserie består hver figur av en pil og et antall prikker. Reglene er faste gjennom hele serien, men de er ikke oppgitt. Retninger oppgis som himmelretninger, der nord er 0 grader og gradtallet øker med klokken.
Figur 1: pilen peker rett nord, 4 prikker. Figur 2: pilen peker sørøst, 7 prikker. Figur 3: pilen peker rett vest, 12 prikker. Figur 4: pilen peker nordøst, 19 prikker.
Mellom hver figur roterer pilen like mange grader med klokken, og antall prikker øker etter et fast mønster som bare bruker de fire første figurene som grunnlag. En medkandidat tror at serien «starter på nytt» hver fjerde figur, fordi pilen i figur 4 peker nordøst igjen. Det er en misforståelse: rotasjonen er konstant per steg, ikke per fjerde steg. Du skal ikke beskrive figurene med ord, men avgjøre hvilke egenskaper bestemte figurnumre har.
1. Hvilken retning peker pilen i figur 6, og hvor mange prikker har figuren?
Read the worked answer
Retning: 0° → 135° → 270° → 405° = 45° viser en konstant rotasjon på 135° med klokken per steg. Fortsetter vi: 45 + 135 = 180° (sør) i figur 5, og 180 + 135 = 315° (nordvest) i figur 6.
Prikker: 4 → 7 (+3) → 12 (+5) → 19 (+7). Økningen er oddetallene 3, 5, 7, 9, 11. Figur 5: 19 + 9 = 28. Figur 6: 28 + 11 = 39.
Svar: nordvest og 39 prikker.
2. Hvilket figurnummer er det første etter figur 5 der pilen peker rett sør igjen?
Read the worked answer
Retningen i figur n er 135(n − 1) grader, regnet modulo 360. Sør er 180°:
135(n − 1) ≡ 180 (mod 360)
Del på 45: 3(n − 1) ≡ 4 (mod 8). Inversen til 3 modulo 8 er 3, siden 3 × 3 = 9 ≡ 1. Multipliser begge sider: n − 1 ≡ 12 ≡ 4 (mod 8), altså n = 5, 13, 21 …
Figur 5 peker sør. Det første tilfellet etter figur 5 er dermed figur 13. Perioden er 8 figurer, ikke 4 – derfor er ikke figur 9 svaret.
3. En påstand: «Etter figur 3 peker ingen figur rett vest.» Vurder påstanden.
Read the worked answer
Påstanden er feil.
Vest er 270°. Løs 135(n − 1) ≡ 270 (mod 360), som gir 3(n − 1) ≡ 6 (mod 8), det vil si n − 1 ≡ 18 ≡ 2 (mod 8). Løsningene er n = 3, 11, 19 …
Figur 3 peker vest (det er oppgitt), og figur 11 peker vest igjen. Etter figur 3 er altså figur 11 den første som peker rett vest. Påstanden ser trolig ut til å stemme fordi man bare sjekker figurene 4–8, men siden retningen gjentas hver åttende figur, kommer vest tilbake senere i serien.