El sendero del huerto comunitario
Una junta vecinal diseña un huerto comunitario rectangular de 18 m por 12 m. Alrededor del área cultivada, y dentro del rectángulo, se construirá un sendero de ancho uniforme x metros, de modo que el cultivo quede centrado y con forma rectangular. El área cultivada debe ser de al menos 160 m². El presupuesto alcanza para materiales del sendero hasta 56 m². La normativa de accesibilidad exige un ancho mínimo de 0,8 m en todo el sendero, y por seguridad el cultivo no puede quedar partido ni el sendero cruzarse.
Un voluntario propone x = 1,2 m y afirma que así quedan justo los 160 m². Otro propone x = 0,5 m, porque deja más tierra cultivable. La junta debe elegir un valor de x que cumpla todo y explicar por qué los dos valores propuestos fallan o no. El tesorero advierte que, si el sendero supera los 50 m², habrá que pedir una donación.
1. Plantea la restricción de área cultivada y determina el intervalo de valores posibles de x. Muestra el álgebra y explica por qué se descarta una de las soluciones.
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El cultivo mide (18 − 2x) por (12 − 2x). La condición es:
(18 − 2x)(12 − 2x) ≥ 160 216 − 36x − 24x + 4x² ≥ 160 4x² − 60x + 56 ≥ 0 x² − 15x + 14 ≥ 0 (x − 1)(x − 14) ≥ 0
La parábola abre hacia arriba, así que el producto es no negativo fuera de las raíces: x ≤ 1 o x ≥ 14.
Hay que aplicar el dominio geométrico: el ancho del sendero no puede consumir el rectángulo, de modo que 18 − 2x > 0 y 12 − 2x > 0, es decir, 0 < x < 6. La rama x ≥ 14 queda fuera de ese dominio y se descarta, aunque sea algebraicamente válida. Además, la restricción de presupuesto (sendero ≤ 56 m²) es equivalente a la del cultivo, porque el área total es 216 m²: 216 − 160 = 56.
Intervalo: 0 < x ≤ 1. El valor x = 1 es el máximo que cumple el área, y deja exactamente 16 × 10 = 160 m².
2. Evalúa las dos propuestas de la junta y determina el intervalo final incorporando la norma de accesibilidad.
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Propuesta x = 1,2: el cultivo mide 18 − 2,4 = 15,6 por 12 − 2,4 = 9,6; área = 149,76 m². No cumple el mínimo de 160 m², así que la afirmación de que «quedan justo los 160 m²» es falsa: ese valor se obtiene con x = 1, no con 1,2. El error probable es haber calculado 216 − 56 y confundir el área del sendero con el valor del ancho.
Propuesta x = 0,5: el cultivo mide 17 por 11 = 187 m², y el sendero 216 − 187 = 29 m². Cumple el área y el presupuesto, pero no la accesibilidad: 0,5 < 0,8 m. Un sendero demasiado angosto no sirve aunque sobre tierra.
Intervalo final: se intersecan 0 < x ≤ 1 con x ≥ 0,8, de donde 0,8 ≤ x ≤ 1.
La junta tiene un margen de 0,2 m. Cualquier valor en ese rango cumple las tres condiciones; conviene elegir cerca de 1 m si se quiere maximizar el sendero, o cerca de 0,8 m si se quiere maximizar el cultivo y el área del sendero no es prioridad.
3. Si el presupuesto baja y el sendero no puede superar los 50 m², ¿cambia el intervalo? Calcula el nuevo máximo y decide si hace falta la donación.
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El área del sendero es 216 − (18 − 2x)(12 − 2x) = 60x − 4x². La condición es:
60x − 4x² ≤ 50 4x² − 60x + 50 ≥ 0 x² − 15x + 12,5 ≥ 0
Raíces: x = [15 ± √(225 − 50)] / 2 = [15 ± √175] / 2. Como √175 ≈ 13,229, las raíces son aproximadamente 0,886 y 14,114.
La parábola abre hacia arriba, así que la desigualdad se cumple para x ≤ 0,886 o x ≥ 14,114. Con el dominio 0 < x < 6 queda 0 < x ≤ 0,886.
Incorporando la accesibilidad: 0,8 ≤ x ≤ 0,886.
Interpretación: el máximo baja de 1 m a unos 0,886 m; el margen útil se reduce a 8,6 cm. Un sendero de 0,9 m ya supera los 50 m² y obliga a la donación; uno de 0,85 m no. La junta puede evitar la donación eligiendo un ancho entre 0,80 y 0,88 m, pero pierde holgura para ajustes de obra. Si se elige 1 m, hace falta donación: el sendero tendría 56 m², seis más que el límite.