تحسين مساحة حظيرة مدرسية تحت قيد الجدار
تخطط مدرسة ثانوية لإنشاء حظيرة زراعية مستطيلة الشكل خلف مبنى العلوم، تُقسَّم إلى ثلاثة أقفاص متساوية لتربية الأغنام، بسياج خارجي وسياجين داخليين موازيين للعرض. يستند أحد أضلاع الحظيرة الطويلة إلى جدار إسمنتي قائم طوله 50 m، ولا يمكن مدّه أو البناء خلفه. تملك المدرسة 120 m من السياج المعدني، وتريد استغلالها كلها. طلب مجلس الطلاب شراء 10 m إضافية إذا ثبت أن ذلك يزيد المساحة زيادة مجدية. لا يُسمح بسياج على الجدار، ويجب أن يكون كل قفص مستطيلًا متساويًا مع الآخر، وأن تبقى الأبعاد أعدادًا موجبة. كلّف فريق الرياضيات بوضع نموذج رياضي للمسألة، ثم تحديد الأبعاد التي تعطي أكبر مساحة ممكنة مع مراعاة قيد الجدار، ومقارنة الحل الناتج بحالة شراء السياج الإضافي. المطلوب ليس مجرد حساب مساحة، بل تبرير القرار وربط القيود بالحل. وقد طلب المعلم ألا يُعتمد على التخمين، وأن تُكتب القيود بوضوح قبل الاشتقاق.
1. اكتب دالة المساحة A بدلالة عرض القفص y، وبيّن قيد الجدار. ثم أوجد قيمة y التي تعطي أكبر مساحة إذا أُهمل قيد الجدار مؤقتًا.
Read the worked answer
ليكن طول الحظيرة الموازي للجدار x، وعرضها y. السياج المطلوب هو الضلع المقابل للجدار x، وعرضان خارجيان 2y، وسياجان داخليان طول كل منهما y، إذن:
x + 4y = 120 ⇒ x = 120 − 4y.
المساحة:
A(y) = xy = y(120 − 4y) = 120y − 4y².
قيد الجدار هو x ≤ 50، أي 120 − 4y ≤ 50، ومنه y ≥ 17.5.
إذا أهملنا القيد مؤقتًا: A′(y) = 120 − 8y = 0 ⇒ y = 15، وعندها x = 60 و A = 900 m². لكن x = 60 m يتجاوز طول الجدار 50 m، لذلك هذا الحل غير مقبول عمليًا.
2. طبّق قيد الجدار x ≤ 50. هل الحل السابق مقبول؟ أوجد الأبعاد والمساحة العظمى الفعلية، وفسّر لماذا لا تقع عند نقطة المشتقة الصفرية.
Read the worked answer
الحل السابق غير مقبول لأن x = 60 m أكبر من 50 m. بعد تطبيق القيد:
x ≤ 50 ⇒ 120 − 4y ≤ 50 ⇒ y ≥ 17.5.
الدالة A(y) = 120y − 4y² مكافئة لقطع مكافئ مفتوح للأسفل، وهي تتزايد حتى y = 15 ثم تتناقص. وبما أن مجالنا y ≥ 17.5 يقع كله بعد قمة القطع المكافئ، فإن أكبر قيمة على المجال تحدث عند أصغر y مسموح بها، أي y = 17.5. عندها:
x = 120 − 4(17.5) = 50 m،
A = 50 × 17.5 = 875 m².
إذن الأمثل الفعلي عند x = 50 و y = 17.5، وليس عند المشتقة الصفرية، لأن قيد الجدار نشط ويجبر الحل على الحد الأعلى لـ x.
3. إذا اشترت المدرسة 10 m إضافية، فأعد صياغة القيد واحسب المساحة العظمى الجديدة. هل توافق على الشراء؟ ادعم قرارك بالفرق في المساحة والنسبة المئوية.
Read the worked answer
يصبح طول السياج المتاح 130 m، فتصبح المعادلة:
x + 4y = 130، مع x ≤ 50.
إذن 130 − 4y ≤ 50 ⇒ y ≥ 20. وبما أن الدالة تتناقص بعد y = 15، فأفضل قيمة مسموحة هي y = 20، وعندها:
x = 130 − 4(20) = 50 m،
A = 50 × 20 = 1000 m².
الفرق عن الحالة الأولى: 1000 − 875 = 125 m²، أي زيادة نسبتها 125 ÷ 875 × 100% ≈ 14.3%. القرار لا يعتمد على المساحة وحدها؛ فإذا كانت تكلفة 10 m من السياج وتركيبه أقل من القيمة التي تعطيها 125 m² إضافية، فالشراء مجدٍ. أما إذا كانت التكلفة مرتفعة أو لا توجد حاجة فعلية للمساحة، فيُفضَّل الإبقاء على 120 m. بهذا يكون الجواب قرارًا مبررًا لا حسابًا فقط.