عربة منحدر ونابض: الطاقة والاحتكاك
في مختبر الفيزياء، صمّم فريق طلابي نموذجًا لمسار عربة صغيرة: تنطلق العربة من السكون من قمة منحدر ارتفاعها 1.8 m، ثم تسير على مقطع أفقي خشن طوله 3.0 m معامل الاحتكاك الحركي فيه 0.25، ثم تصطدم بنابض ثابت صلابته 2000 N/m وتضغطه حتى تتوقف لحظيًا. كتلة العربة 2.0 kg، ويمكن إهمال مقاومة الهواء واحتكاك المنحدر، مع اعتبار g = 9.8 m/s². طلب المعلم من الفريق حساب سرعة العربة عند نهاية المنحدر، ثم الطاقة المتبقية بعد المقطع الخشن، ثم أقصى انضغاط للنابض. كما طلب منهم تفسير ما يحدث إذا ضاعفوا كتلة العربة مع إبقاء الارتفاع والمسافة ومعامل الاحتكاك كما هي: هل يتضاعف الانضغاط؟ ولماذا؟ تنازع الطالبان: أحدهما قال إن الكتلة لا تؤثر لأنها تُختصر، والآخر قال إن الاحتكاك يعتمد على الكتلة أيضًا. على الفريق حسم الخلاف بحساب واضح.
1. احسب سرعة العربة عند نهاية المنحدر، ثم الطاقة المتبقية بعد المقطع الخشن.
Read the worked answer
عند القمة تملك العربة طاقة وضع جاذبية فقط:
E_p = mgh = 2.0 × 9.8 × 1.8 = 35.28 J.
وبإهمال الاحتكاك على المنحدر تتحول كلها إلى طاقة حركية عند القاع:
½mv² = 35.28 ⇒ v = √(2 × 9.8 × 1.8) ≈ 5.94 m/s.
أما شغل الاحتكاك على المقطع الأفقي:
W_f = μmgd = 0.25 × 2.0 × 9.8 × 3.0 = 14.7 J.
إذن الطاقة المتبقية قبل اصطدام النابض:
E = 35.28 − 14.7 = 20.58 J.
هذه الطاقة هي التي ستُختزن في النابض عند أقصى انضغاط، بافتراض عدم وجود فقد آخر.
2. أوجد أقصى انضغاط للنابض، ثم احسب قوة النابض عند هذا الانضغاط.
Read the worked answer
عند أقصى انضغاط تتوقف العربة لحظيًا، فتكون الطاقة المتبقية كلها طاقة وضع مرونة:
½kx² = 20.58.
وبتعويض k = 2000 N/m:
x² = (2 × 20.58) ÷ 2000 = 0.02058 ⇒ x ≈ 0.1435 m، أي نحو 14.4 cm.
قوة النابض عند أقصى انضغاط:
F = kx = 2000 × 0.1435 ≈ 287 N.
الإشارة سالبة إذا اعتبرنا اتجاه القوة معاكسًا لاتجاه الحركة، أما المقدار فهو 287 N. هذا الانضغاط معقول لنموذج مخبري، لكنه يتطلب نابضًا يتحمل هذه القوة دون تشوه دائم.
3. احسم الخلاف: إذا ضوعفت كتلة العربة مع إبقاء الارتفاع والمسافة ومعامل الاحتكاك كما هي، فهل يتضاعف انضغاط النابض؟ برّر حسابيًا.
Read the worked answer
لا يتضاعف الانضغاط؛ بل يزداد بنسبة √2 تقريبًا. السبب أن طاقة الوضع الابتدائية تتناسب مع الكتلة: E_p = mgh. وشغل الاحتكاك يتناسب أيضًا مع الكتلة: W_f = μmgd. إذن الطاقة المتبقية قبل النابض:
E = mg(h − μd).
وعند أقصى انضغاط: ½kx² = mg(h − μd)، ومنه:
x = √(2mg(h − μd) / k).
الكتلة لا تُختصر لأنها تحت الجذر، لكنها لا تظهر خطيًا. عند m = 4.0 kg:
E = 4.0 × 9.8 × (1.8 − 0.25 × 3.0) = 4.0 × 9.8 × 1.05 = 41.16 J،
x = √(2 × 41.16 ÷ 2000) ≈ 0.203 m، وهو 0.1435 × √2 تقريبًا. إذن كلام الطالب الأول غير دقيق، والثاني محق في أن الاحتكاك يعتمد على الكتلة، لكن ذلك لا يجعل الانضغاط يتضاعف.