الرياضيات: التفاضل والتكامل والمتجهات والمصفوفات
الرياضيات: ما الذي يختبره الفرع العلمي
تختبر مادة الرياضيات في الفرع العلمي القدرة على توظيف التفاضل والتكامل، والمتجهات، والمصفوفات، والأعداد المركبة، وحل مسائل تطبيقية بدقة. تشمل الورقة أسئلة اختيار من متعدد وأسئلة قصيرة تحتاج كتابة الخطوات، لا الناتج فقط.
القواعد الأساسية
- مشتقة كثير الحدود: d/dx(x^n)=n x^(n-1)، ومعها قاعدة الضرب (uv)'=u'v+uv'، وقاعدة القسمة، وقاعدة السلسلة.
- النهايتان lim_(x→0) sinx/x=1 وlim_(x→0)(1-cosx)/x=0 تُستخدمان في اشتقاق الدوال المثلثية.
- تطبيقات المشتقة: ميل المماس، والقيم العظمى والصغرى عند f'(x)=0 مع اختبار الإشارة، والتقعر.
- التكامل غير المحدد يحتاج ثابت التكامل C، والتكامل المحدد يُحسب بطرح قيمة المشتق العكسي عند الحد الأعلى من قيمته عند الحد الأدنى.
- التكامل بالتعويض: إذا ظهر f(g(x))g'(x) نضع u=g(x).
- في المتجهات: u·v=|u||v|cosθ، والضرب القياسي صفر عند التعامد، وطول المتجه |u|=√(x²+y²+z²).
- المصفوفة قابلة للعكس إذا det(A)≠0، وعندها A^(-1)=(1/det(A)) adj(A)، وضرب المصفوفات غير إبدالي.
- العدد المركب z=a+bi له مقياس |z|=√(a²+b²) وسعة تُحدد بحسب الربع.
مثال محلول
اشتق y=(3x²+1)^5. نحدد الدالة الخارجية u^5 والداخلية u=3x²+1. بقاعدة السلسلة: y'=5u^4·u'=5(3x²+1)^4·6x=30x(3x²+1)^4. الخطأ الشائع التوقف عند 5(3x²+1)^4 دون ضرب المشتقة الداخلية.
أخطاء تفقد العلامات
نسيان إشارة السالب في قاعدة القسمة، وإهمال C في التكامل غير المحدد، وخلط إحداثيات المتجه عند حساب الطول، وعدم التحقق من شرط det(A)≠0 قبل كتابة المصفوفة العكسية، واستخدام الدرجات بدل الراديان في النهايات المثلثية، وعدم التحقق من أن الحل يحقق المعادلة الأصلية.