Ekstremet në interval të mbyllur: skaji që harrohet
Një maturant zgjidh detyrën: «Gjej vlerën më të madhe dhe më të vogël të f(x) = x + 9/x në intervalin [1, 8].» Ai shkruan: f'(x) = 1 − 9/x², prej nga x = 3; f(3) = 6; meqenëse f'(x) < 0 për x < 3 dhe f'(x) > 0 për x > 3, funksioni ka minimum 6 në x = 3. Pastaj njehson f(1) = 10 dhe f(8) = 9.125 dhe përfundon: «maksimumi është 9.125 në x = 8». Një shok i klasës pohon: «Nuk duhet të kontrollosh skajet fare: për çdo a > 0 kemi x + a/x ≥ 2√a, pra minimumi është gjithmonë 2√a.» Mësuesi duhet të vendosë për 4 pikë: 2 për derivatin, 1 për minimumin, 1 për maksimumin.
1. Ku është gabimi në zgjidhjen e maturantit dhe si duhet të ishte përfundimi?
Read the worked answer
Gabimi nuk është në derivatin as në minimumin; është në zgjedhjen e skajit.
Tabela e saktë e vlerave:
| x | 1 | 3 | 8 |
|---|---|---|---|
| f(x) | 10 | 6 | 9.125 |
Maturanti i njehsoi të dy skajet, por pastaj mori vlerën më të vogël të skajit (9.125) si maksimum. Krahasimi duhet bërë mes të gjitha kandidatëve: maksimumi është 10, në x = 1, minimumi 6, në x = 3.
Rregulli që duhet thënë me zë: derivati gjeneron vetëm pika stacionare; në një interval të mbyllur ekstremet globale mund të ndodhin edhe në skaje, prandaj krahasohen gjithmonë f(a), f(b) dhe vlerat në pikat kritike brenda intervalit.
2. Vlerëso pohimin e shokut të klasës. A është i vërtetë? Përdor një kundërshembull me a = 25 në [1, 8].
Read the worked answer
Pohimi është i vërtetë vetëm si jobarazi për x > 0, jo si pohim për minimumin në një interval të dhënë.
x + a/x ≥ 2√a rrjedh nga (√x − √(a/x))² ≥ 0, me barazi vetëm kur x = √a. Pra kufiri prej poshtë arrihet vetëm nëse √a i përket intervalit.
Kundërshembull, a = 25, intervali [1, 8]: √a = 5 ∈ [1, 8], por kufiri 2√a = 10 është maksimum i f(x) = x + 25/x në këtë interval, jo minimum. f'(x) = 1 − 25/x² < 0 për çdo x ∈ [1, 5), pra funksioni zbret në gjithë [1, 8] deri në x = 5. Rrjedhimisht:
- minimumi në [1, 8] ndodhet në skajin e djathtë: f(8) = 8 + 25/8 = 11.125;
- maksimumi në skajin e majtë: f(1) = 26.
Pohimi i shokut jep 10, që nuk është as minimum as maksimum në këtë interval. Përfundim: jobarazia është e vërtetë, por interpretimi «minimumi është gjithmonë 2√a» është i rremë kur kufiri nuk arrihet brenda intervalit.
3. Sa pikë merr zgjidhja dhe çfarë komenti duhet t'i shkruhet maturantit?
Read the worked answer
3 nga 4 pikë: 2 për derivatin (i saktë), 1 për minimumin (i saktë dhe i argumentuar me shenjën e derivatit), 0 për maksimumin (vlera e gabuar, pavarësisht se skajet u njehsuan).
Komenti: «I njehsove të dy skajet - mirë. Gabimi është në hapin e fundit: zgjodhe vlerën më të vogël të skajit si maksimum. Shkruaj gjithmonë një tabelë me të gjithë kandidatët përpara se të zgjedhësh. Dhe kur dikush të thotë se një jobarazi e përgjithshme zgjidh detyrën, kontrollo nëse barazia arrihet brenda intervalit.»
Pika e katërt nuk jepet sepse vlera numerike është pjesë e kriterit, jo sepse procedura mungon. Ky dallim duhet shënuar, që maturanti të mos mendojë se gaboi metodën.