Mesatarja e shkollës që bie ndërsa të gjitha grupet përmirësohen
Një shkollë e mesme raporton: «Rezultatet tona ranë këtë vit.» Viti 1: grupi A (10 nxënës) mesatare 6.0; grupi B (40 nxënës) mesatare 9.0. Viti 2: grupi A (40 nxënës) mesatare 6.5; grupi B (10 nxënës) mesatare 9.2. Drejtoria shpall se «mësimdhënia u përkeqësua», sepse mesatarja e shkollës ra. Një mësues vëren se A është klasa me profil të përgjithshëm dhe B klasa me profil matematikë-informatikë, dhe se ndryshimi i numrave vjen nga riorganizimi i klasave, jo nga ndonjë ndryshim i mësimdhënies. Të dyja palët pajtohen për të dhënat; mosmarrëveshja është vetëm për interpretimin.
1. Njehso mesataren e shkollës për të dy vitet.
Read the worked answer
Nuk mjafton mesatarja e thjeshtë e dy mesatareve, sepse grupet kanë madhësi të ndryshme. Duhet mesatarja e ponderuar me numrin e nxënësve.
Viti 1: (10·6.0 + 40·9.0) / 50 = (60 + 360) / 50 = 420 / 50 = 8.4
Viti 2: (40·6.5 + 10·9.2) / 50 = (260 + 92) / 50 = 352 / 50 = 7.04
Mesatarja ra nga 8.4 në 7.04, rënie prej 1.36 pikësh. (Mesatarja e thjeshtë e dy mesatareve do të jepte 7.5 për të dy vitet - pra do të fshihte plotësisht rënien. Kjo tregon sa e rrezikshme është mesatarja e paponderuar.)
2. Si mund të bien të dyja grupet dhe njëkohësisht mesatarja e shkollës? Shpjego me fjalë dhe me numra.
Read the worked answer
Sepse peshat ndryshuan. Mesatarja e përgjithshme është mesatare e ponderuar, dhe peshat varen nga shpërndarja e nxënësve midis grupeve.
- Në vitin 1, 80% e nxënësve (40/50) ishin në grupin B me mesatare 9.0. Kjo e tërhiqte lart mesataren e shkollës.
- Në vitin 2, 80% e nxënësve (40/50) ishin në grupin A me mesatare 6.5. Kjo e tërhiqte poshtë mesataren e shkollës.
Kontroll numerik: brenda secilit grup pati rritje (6.0 → 6.5 dhe 9.0 → 9.2), por shkolla u mbush me nxënës të grupit më të dobët. Rënia prej 1.36 pikësh nuk vjen nga performanca, vjen nga përbërja.
Ky është shembull i njohur si paradoksi i Simpsonit: një tendencë që shfaqet në të dhënat e bashkuara zhduket ose kthehet kur të dhënat ndahen sipas një variabli tjetër.
3. Cili përfundim është i mbrojtshëm nga të dhënat? Formulo dy pohime të sakta dhe një krahasim që drejtoria duhet të bëjë në vend të mesatares së papërpunuar.
Read the worked answer
Pohime të mbrojtshme:
- «Të dyja grupet e nxënësve treguan përmirësim mesatar nga viti 1 në vitin 2 (+0.5 për grupin A, +0.2 për grupin B).»
- «Mesatarja e papërpunuar e shkollës ra nga 8.4 në 7.04, kryesisht për shkak se 30 nxënës u zhvendosën nga grupi B në grupin A, duke ndryshuar peshat.»
Pohime të pambrojtura: «mësimdhënia u përkeqësua» - të dhënat nuk matin mësimdhënien; dhe «rezultatet ranë» pa cilësim - bie vetëm mesatarja e paponderuar, jo performanca e asnjë grupi.
Krahasimi i duhur: ose (a) krahaso secilin grup veçmas me provime të njëjta, ose (b) rillogarit mesataren me pesha fikse (p.sh. supozo se edhe në vitin 2 grupet kishin 10 dhe 40 nxënës): (10·6.5 + 40·9.2)/50 = (65 + 368)/50 = 8.66 - pra shkolla, me përbërje të pandryshuar, do të kishte përmirësuar. Ndryshimi i përbërjes duhet raportuar si variabël më vete, jo fshehur brenda një numri të vetëm.