Suite définie par récurrence : conjecturer puis démontrer
On considère la suite (uₙ) définie par u₀ = 1 et, pour tout entier n ≥ 0, uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2. Un élève calcule u₀ = 1 ; u₁ = 2 ; u₂ = 2,5 ; u₃ = 2,75 ; u₄ = 2,875. Il écrit sur sa copie : « La suite semble croissante et tendre vers 3. Donc elle converge vers 3. » Le professeur attend une rédaction complète : monotonie démontrée, majoration, puis limite justifiée. L'élève proteste : « Les quatre premiers termes suffisent, c'est évident. »
1. Démontre par récurrence que, pour tout n, uₙ ≤ 3, puis établis la monotonie de la suite.
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Majoration par 3. Initialisation : u₀ = 1 ≤ 3, vrai. Hérédité : supposons uₙ ≤ 3. Alors uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2 ≤ (3 + 3)/2 = 3. La propriété est héréditaire et initialisée, donc pour tout n, uₙ ≤ 3. Monotonie. Calculons uₙ₊₁ − uₙ = (uₙ + 3)/2 − uₙ = (3 − uₙ)/2. Comme uₙ ≤ 3 pour tout n, on a 3 − uₙ ≥ 0, donc uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0 : la suite est croissante. Remarque de rigueur : la majoration sert précisément à établir la monotonie ; sans elle, le calcul de la différence ne conclut pas. Les deux propriétés se démontrent donc dans cet ordre, et non en les supposant acquises par l'observation des premiers termes.
2. Justifie rigoureusement la convergence et calcule la limite. Explique pourquoi l'argument de l'élève (« les quatre premiers termes suffisent ») est invalide.
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Convergence. La suite est croissante et majorée par 3 : par le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ ≤ 3. Calcul de la limite. La fonction f(x) = (x + 3)/2 est continue, donc la limite ℓ vérifie ℓ = (ℓ + 3)/2, d'où 2ℓ = ℓ + 3, soit ℓ = 3. La limite est bien 3. Pourquoi l'argument de l'élève est invalide. Une conjecture portant sur quatre termes ne prouve rien : une suite peut croître sur ses premiers termes puis décroître, ou tendre vers une valeur différente de celle suggérée. De plus, écrire « elle converge donc vers 3 » suppose déjà la convergence, qui n'est établie que par le théorème de convergence monotone. Bilan méthodologique : observation → conjecture → démonstration de la monotonie et de la bornitude → théorème → calcul de la limite. Chaque étape est indispensable ; c'est exactement ce que le correcteur évalue.