Coût marginal et décision de production
Une petite entreprise béninoise fabrique des ustensiles en aluminium. Le coût total de production, en milliers de francs CFA, pour q centaines d'unités produites (0 < q ≤ 20) est modélisé par C(q) = q³ − 9q² + 30q + 40. Le prix de vente unitaire est fixé à 15 000 FCFA par centaine d'unités, donc la recette est R(q) = 15q en milliers de francs. Le gérant observe que pour q = 3 le bénéfice semble déjà correct, mais il hésite entre augmenter ou réduire la production. Il veut savoir si produire davantage à partir de q = 3 améliore réellement le résultat, et quel niveau de production maximise le bénéfice.
1. Calculez le bénéfice B(q), puis étudiez le signe de B'(q) sur l'intervalle ]0 ; 20]. Déterminez le niveau de production qui maximise le bénéfice.
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Bénéfice. B(q) = R(q) − C(q) = 15q − (q³ − 9q² + 30q + 40) = −q³ + 9q² − 15q − 40.
Dérivée. B'(q) = −3q² + 18q − 15 = −3(q² − 6q + 5) = −3(q − 1)(q − 5).
Signe. Le trinôme (q − 1)(q − 5) est positif hors de [1 ; 5] et négatif entre les racines. Comme le coefficient −3 est négatif, B'(q) < 0 sur ]0 ; 1[, B'(q) > 0 sur ]1 ; 5[, B'(q) < 0 sur ]5 ; 20].
Conclusion. B décroît jusqu'à q = 1, croît de q = 1 à q = 5, puis décroît. Le maximum local (et global sur l'intervalle) est atteint en q = 5. B(5) = −125 + 225 − 75 − 40 = −15, soit une perte de 15 000 FCFA. Le bénéfice est donc négatif partout : B(3) = −27 + 81 − 45 − 40 = −31. Produire davantage jusqu'à q = 5 réduit la perte (de −31 à −15) mais ne la supprime pas. Le gérant doit d'abord revoir son prix ou ses coûts fixes avant de parler de profit.
2. Le gérant envisage de fixer un objectif de production q = 5. Vérifiez si le bénéfice devient positif et expliquez ce que signifie le signe de B'(3) pour une décision immédiate.
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Vérification. B(5) = −15 < 0 : même au point qui maximise le bénéfice, l'entreprise reste en perte. Aucune valeur de q dans ]0 ; 20] ne rend B positif, car le maximum vaut −15.
Interprétation de B'(3). B'(3) = −3(3 − 1)(3 − 5) = −3 × 2 × (−2) = 12 > 0. La dérivée est positive en q = 3 : augmenter légèrement la production à partir de 3 accroît le bénéfice (réduit la perte) d'environ 12 milliers de FCFA par centaine d'unités supplémentaire. La décision immédiate rationnelle est donc d'augmenter la production vers q = 5, mais sans illusion : cela ne suffit pas à atteindre l'équilibre. Il faut agir sur le prix (le passer au-dessus de 15) ou sur les coûts fixes (les 40 milliers).
3. Déterminez le prix de vente unitaire minimal p (en milliers de FCFA par centaine) qui permettrait d'atteindre un bénéfice nul à la production optimale q = 5.
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Mise en équation. Avec R(q) = p·q, on a B(q) = pq − q³ + 9q² − 30q − 40. À q = 5 : B(5) = 5p − 125 + 225 − 150 − 40 = 5p − 90.
Résolution. B(5) = 0 ⟺ 5p = 90 ⟺ p = 18.
Conclusion. Il faudrait un prix d'au moins 18 000 FCFA par centaine d'unités pour que la production q = 5 soit à l'équilibre. Le prix actuel de 15 est trop bas de 3 000 FCFA. On peut aussi vérifier que le coût moyen en q = 5 vaut C(5)/5 = (125 − 225 + 150 + 40)/5 = 90/5 = 18, ce qui confirme le résultat : le prix doit couvrir le coût moyen au point de production retenu.