Bac E Bénin flashcards

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Limite finie en a

f admet pour limite L en a si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a, x différent de a.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur [a,b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un c dans [a,b] tel que f(c)=k.

Nombre dérivé en a

f'(a) est la limite, quand h tend vers 0, du quotient [f(a+h)−f(a)]/h. Il mesure la pente de la tangente en a.

Intégration par parties

Pour u et v dérivables à dérivées continues, ∫_a^b u'(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b−∫_a^b u(x)v'(x)dx. Utile pour produits polynôme-exponentielle.

Équation y'=ay+b

Les solutions sont y(x)=Ce^{ax}−b/a, où C est une constante réelle déterminée par une condition initiale donnée.

Suite arithmétique

Suite où u_{n+1}=u_n+r avec r constante. Terme général u_n=u_0+nr ; somme des n+1 premiers termes =(n+1)(u_0+u_n)/2.

Suite géométrique

Suite où u_{n+1}=q·u_n avec q constante. Terme général u_n=u_0·q^n ; somme S_n=u_0(1−q^{n+1})/(1−q) si q≠1.

Raisonnement par récurrence

On vérifie la propriété au rang initial, on suppose qu'elle est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang n+1, puis on conclut.

Déterminant d'une matrice 2x2

Pour A=[[a,b],[c,d]], det A=ad−bc. A est inversible si et seulement si ce déterminant est non nul.

Système de Cramer

Système linéaire carré dont le déterminant de la matrice des coefficients est non nul ; il admet alors une solution unique.

Point fixe d'une suite

Si u_{n+1}=f(u_n) converge vers L et si f est continue en L, alors L=f(L). On résout cette équation pour trouver la limite.

Probabilité conditionnelle

P(A|B)=P(A∩B)/P(B) lorsque P(B)>0. Elle exprime la probabilité de A sachant que B est réalisé.

Formule des probabilités totales

Si les événements A_i forment une partition de l'univers, alors P(B)=Σ P(A_i)·P(B|A_i). Sert à calculer une probabilité globale.

Loi binomiale

Loi du nombre de succès sur n épreuves indépendantes de probabilité p : P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}, espérance np, variance np(1−p).

Espérance et variance

E(X)=Σ x_i p_i et V(X)=E(X²)−[E(X)]². L'écart-type σ=√V(X) mesure la dispersion autour de la moyenne.

Loi normale centrée réduite

Si X suit N(μ,σ²), alors Z=(X−μ)/σ suit N(0,1). On lit les probabilités dans la table de la loi normale centrée réduite.

Intervalle de fluctuation asymptotique

Au seuil 95 %, il vaut [p−1,96√(p(1−p)/n) ; p+1,96√(p(1−p)/n)] pour une fréquence observée sur n échantillons.

Intérêt simple

Intérêt calculé sur le capital initial seulement : I=C·t·n. La valeur acquise est C(1+t·n) ; les intérêts ne sont pas capitalisés.

Intérêt composé

Les intérêts s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts. Valeur acquise après n périodes au taux i : C_n=C_0(1+i)^n.

Actualisation d'un capital

La valeur actuelle d'un capital C_n disponible dans n périodes au taux i est C_0=C_n(1+i)^{−n}. Opération inverse de la capitalisation.

Valeur acquise d'annuités

Somme des annuités constantes a placées en fin de période pendant n périodes au taux i : V_n=a·[(1+i)^n−1]/i.

Annuité de remboursement

Montant constant a remboursant un emprunt C en n échéances au taux i : a=C·i/[1−(1+i)^{−n}]. Chaque annuité comprend intérêts et amortissement.

Tableau d'amortissement

Tableau listant, par échéance, le capital restant dû, les intérêts (capital dû × i), l'amortissement (annuité − intérêts) et le nouveau capital dû.

Taux équivalent périodique

Si i est le taux annuel, le taux équivalent pour une période de 1/p année est i_p=(1+i)^{1/p}−1. Il respecte la capitalisation composée.

Équilibre du bilan

Le total de l'actif (emplois : immobilisations, stocks, créances, trésorerie) est toujours égal au total du passif (ressources : capitaux propres et dettes).

Compte de résultat

Document récapitulant produits et charges d'un exercice. Résultat = Produits − Charges ; un résultat positif est un bénéfice, négatif une perte.

Principe de la partie double

Chaque opération est enregistrée dans au moins deux comptes, un débit et un crédit, pour des montants totaux égaux.

Marge commerciale

Différence entre les ventes de marchandises et le coût d'achat des marchandises vendues. Elle mesure la performance de l'activité de négoce.

Élasticité-prix de la demande

Rapport (ΔQ/Q)/(ΔP/P). La demande est élastique si sa valeur absolue dépasse 1, inélastique si elle est inférieure à 1.

Produit scalaire de deux vecteurs

Dans un repère orthonormé, u(x;y)·v(x';y')=xx'+yy'. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.

Distance point-droite

La distance d'un point M(x₀;y₀) à la droite ax+by+c=0 vaut |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).

Méthode de dichotomie

Algorithme d'encadrement d'une racine de f continue sur [a,b] avec f(a)f(b)<0 : on coupe l'intervalle en deux et on garde le sous-intervalle contenant la racine.