Bac E Bénin cheat sheet

Limite en a : lim_{x→a} f(x)=L si pour tout ε>0 il existe δ>0 tel que 0<|x−a|<δ implique |f(x)−L|<ε.

Formes indéterminées usuelles : 0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞−∞, 0^0, 1^∞ ; lever par factorisation, conjugué, ou taux d'accroissement.

Continuité en a : f continue si lim_{x→a} f(x)=f(a). Théorème des valeurs intermédiaires : f continue sur [a,b] prend toute valeur entre f(a) et f(b).

Dérivée : f'(a)=lim_{h→0} [f(a+h)−f(a)]/h. Règles : (uv)'=u'v+uv', (u/v)'=(u'v−uv')/v², (u∘v)'=v'·u'∘v.

Dérivées de référence : (x^n)'=nx^{n−1}, (e^x)'=e^x, (ln x)'=1/x, (sin x)'=cos x, (cos x)'=−sin x.

Intégrale : ∫_a^b f(x)dx = F(b)−F(a) si F'=f. Linéarité et relation de Chasles : ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b.

Intégration par parties : ∫_a^b u'v = [uv]_a^b − ∫_a^b uv'. Poser u'= exponentielle ou polynôme selon le cas.

Équation différentielle y'=ay+b : solution générale y=Ce^{ax}−b/a ; condition initiale y(x₀)=y₀ fixe C.

Équation y''+ω²y=0 : solutions y=A cos(ωx)+B sin(ωx), A et B déterminés par les conditions initiales.

Suite arithmétique : u_n=u_0+nr, somme S_n=(n+1)(u_0+u_n)/2. Suite géométrique : u_n=u_0·q^n, somme S_n=u_0(1−q^{n+1})/(1−q) si q≠1.

Récurrence en trois étapes : initialisation (vérifier au rang de départ), hérédité (supposer vrai au rang n, prouver au rang n+1), conclusion.

Matrice : produit C=AB avec c_{ij}=Σ_k a_{ik}b_{kj}. Le produit matriciel n'est pas commutatif en général ; AB=0 n'implique pas A=0 ou B=0.

Déterminant 2×2 : det[[a,b],[c,d]]=ad−bc. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Système linéaire : méthode de Gauss (combinaisons de lignes) ou substitution. Nombre de solutions : unique si det≠0, sinon aucune ou infinité.

Inverse d'une matrice 2×2 : A⁻¹=(1/det A)·[[d,−b],[−c,a]] lorsque det A≠0.

Suite récurrente u_{n+1}=f(u_n) : si (u_n) converge vers L et f continue, alors L=f(L) (point fixe).

Suite auxiliaire v_n=u_n−L : si v_{n+1}=q·v_n avec |q|<1, alors v_n→0 et u_n→L.

Probabilité conditionnelle : P(A|B)=P(A∩B)/P(B) si P(B)>0. Indépendance : P(A∩B)=P(A)·P(B).

Formule des probabilités totales : P(B)=Σ_i P(A_i)·P(B|A_i) pour une partition {A_i}. Formule de Bayes : P(A_i|B)=P(A_i)P(B|A_i)/P(B).

Loi binomiale B(n,p) : P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}, espérance np, variance np(1−p).

Espérance E(X)=Σ x_i p_i ; variance V(X)=E(X²)−[E(X)]² ; écart-type σ=√V(X).

Moyenne d'une série : x̄=(1/n)Σx_i. Variance : (1/n)Σ(x_i−x̄)². Médiane : valeur qui partage l'effectif cumulé en deux moitiés.

Loi normale : si X suit N(μ,σ²), alors Z=(X−μ)/σ suit N(0,1) ; utiliser la table de la loi normale centrée réduite.

Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % : [p−1,96√(p(1−p)/n) ; p+1,96√(p(1−p)/n)].

Intérêt simple : I=C·t·n (t taux annuel, n en années) ; valeur acquise C_n=C(1+t·n).

Intérêt composé : C_n=C_0(1+i)^n avec i taux par période ; taux équivalent i_p=(1+i)^{1/p}−1.

Actualisation : valeur actuelle d'un capital futur C_n est C_0=C_n(1+i)^{−n}. Taux d'actualisation à choisir selon le coût du capital.

Valeur acquise d'annuités constantes de fin de période : V_n=a·[(1+i)^n−1]/i. Valeur actuelle : V_0=a·[1−(1+i)^{−n}]/i.

Annuité de remboursement d'un emprunt C : a=C·i/[1−(1+i)^{−n}], n nombre d'échéances, i taux par période.

Tableau d'amortissement : intérêts de la période = capital restant dû × i ; amortissement = annuité − intérêts ; nouveau capital dû = ancien − amortissement.

Taux moyen d'un placement à plusieurs taux : utiliser la moyenne pondérée par les durées ou par les capitaux selon l'énoncé.

Taux réel vs taux nominal : si capitalisation mensuelle au taux nominal annuel t, taux périodique = t/12 ; taux effectif annuel = (1+t/12)^{12}−1.

Bilan : Actif = Passif. Actif regroupe emplois (immobilisations, stocks, créances, trésorerie) ; passif regroupe ressources (capitaux propres, dettes).

Compte de résultat : Produits − Charges = Résultat. Résultat positif = bénéfice, négatif = perte ; il alimente les capitaux propres au bilan.

Partie double : tout enregistrement débite au moins un compte et crédite au moins un autre pour un montant total égal.

Achat de marchandises : débit compte 60 « Achats », crédit compte 40 « Fournisseurs ». Vente : débit 41 « Clients », crédit 70 « Ventes ».

Marge commerciale = ventes de marchandises − coût d'achat des marchandises vendues. Valeur ajoutée = production − consommations intermédiaires.

Élasticité-prix de la demande = (ΔQ/Q)/(ΔP/P) ; demande élastique si |e|>1, inélastique si |e|<1.

Amortissement linéaire annuel = valeur d'origine / durée d'utilisation ; amortissement dégressif applique un coefficient fiscal au taux linéaire.

Seuil de rentabilité (point mort) = charges fixes / taux de marge sur coût variable ; en valeur, CA critique = CF/(1−CV/CA).

Vecteur AB = (x_B−x_A ; y_B−y_A). Norme ‖AB‖=√((x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²).

Produit scalaire : u·v=xx'+yy'=‖u‖‖v‖cos θ. Orthogonalité si et seulement si u·v=0.

Colinéarité de u(x;y) et v(x';y') : xy'−yx'=0 (déterminant nul).

Équation cartésienne d'une droite : ax+by+c=0, vecteur directeur (−b;a), vecteur normal (a;b). Coefficient directeur m=−a/b si b≠0.

Distance d'un point M(x₀;y₀) à la droite ax+by+c=0 : |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).

Cercle de centre Ω(a;b) et rayon R : (x−a)²+(y−b)²=R². Équation développée x²+y²−2ax−2by+a²+b²−R²=0.

Algorithme de dichotomie : encadrer une racine de f continue sur [a,b] avec f(a)f(b)<0 ; couper l'intervalle en deux et garder le sous-intervalle contenant la racine.

Méthode de Newton : x_{n+1}=x_n−f(x_n)/f'(x_n) ; convergence rapide si f'(x_n)≠0 et bon point de départ.