Suite de remboursement et seuil d'endettement
Une coopérative d'épargne accorde un prêt de 2 000 000 FCFA à un commerçant. Le remboursement se fait par mensualités constantes de 50 000 FCFA, la première un mois après le versement. Le taux mensuel est de 1,5 %. On note uₙ le capital restant dû après le n-ième versement, avec u₀ = 2 000 000. Le commerçant affirme qu'il aura fini de rembourser en moins de trois ans. La coopérative, elle, craint que la dette ne s'éternise. On rappelle que la suite vérifie uₙ₊₁ = 1,015·uₙ − 50 000.
1. Exprimez uₙ en fonction de n, puis déterminez le nombre de mensualités nécessaires pour solder le prêt.
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Point fixe. On cherche ℓ tel que ℓ = 1,015ℓ − 50 000, soit 0,015ℓ = 50 000, donc ℓ = 50 000/0,015 ≈ 3 333 333,33.
Suite auxiliaire. vₙ = uₙ − ℓ vérifie vₙ₊₁ = 1,015·vₙ, donc vₙ = v₀·(1,015)ⁿ avec v₀ = 2 000 000 − 3 333 333,33 = −1 333 333,33.
Formule. uₙ = 3 333 333,33 − 1 333 333,33 × (1,015)ⁿ.
Seuil. uₙ ≤ 0 ⟺ (1,015)ⁿ ≥ 3 333 333,33/1 333 333,33 = 2,5. Donc n ≥ ln(2,5)/ln(1,015). Or ln(2,5) ≈ 0,9163 et ln(1,015) ≈ 0,01489, d'où n ≥ 61,54. Il faut donc 62 mensualités.
Conclusion. Le prêt est soldé à la 62ᵉ mensualité, soit environ 5 ans et 2 mois : l'affirmation du commerçant (moins de trois ans) est fausse. La dernière mensualité sera inférieure à 50 000 FCFA.
2. La coopérative veut ramener la durée à 36 mensualités. Calculez la mensualité constante nécessaire et comparez-la à 50 000 FCFA.
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Formule de la mensualité. Pour un capital C = 2 000 000, un taux i = 0,015 et N = 36, la mensualité constante est a = C·i/(1 − (1 + i)⁻ᴺ).
Calcul. (1,015)³⁶ : ln(1,015)×36 ≈ 0,01489 × 36 = 0,5360, donc (1,015)³⁶ ≈ e^0,5360 ≈ 1,7091. Ainsi (1,015)⁻³⁶ ≈ 0,5851 et 1 − 0,5851 = 0,4149.
a = 2 000 000 × 0,015/0,4149 = 30 000/0,4149 ≈ 72 300 FCFA.
Conclusion. Il faudrait une mensualité d'environ 72 300 FCFA, soit près de 45 % de plus que les 50 000 FCFA proposés. La durée de trois ans n'est pas compatible avec la capacité de remboursement affichée : la coopérative doit soit allonger la durée, soit exiger un apport initial, soit réduire le montant prêté.
3. Le commerçant propose de verser un apport initial A au moment du prêt, puis de garder 50 000 FCFA par mois sur 36 mois. Calculez l'apport A minimal.
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Principe. L'apport A réduit le capital à financer. La mensualité de 50 000 FCFA sur 36 mois peut rembourser un capital maximal C_max = a × (1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i.
Calcul. C_max = 50 000 × 0,4149/0,015 = 50 000 × 27,66 ≈ 1 383 000 FCFA.
Apport. A = 2 000 000 − 1 383 000 = 617 000 FCFA.
Conclusion. Un apport d'environ 617 000 FCFA (soit près de 31 % du prix) rend le schéma compatible avec 36 mensualités de 50 000 FCFA. C'est la seule combinaison qui respecte à la fois la durée souhaitée et la capacité de remboursement ; toute solution qui ignore l'un des deux paramètres est irréaliste.