Test de dépistage et interprétation bayésienne
Dans un centre de santé, on dépiste une maladie touchant 2 % de la population consultante. Le test utilisé a une sensibilité de 90 % (il est positif chez 90 % des malades) et une spécificité de 95 % (il est négatif chez 95 % des non-malades). Un patient se présente, fait le test, et le résultat est positif. Le médecin annonce au patient : « Vous avez 90 % de chances d'être malade. » Le patient, inquiet, demande une contre-expertise. Le statisticien du centre est appelé pour vérifier l'affirmation du médecin avant toute décision thérapeutique coûteuse.
1. Calculez la probabilité qu'un patient testé positif soit réellement malade. L'annonce du médecin est-elle correcte ?
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Notations. M = malade, T⁺ = test positif. P(M) = 0,02 ; P(T⁺|M) = 0,90 ; P(T⁻|non M) = 0,95 donc P(T⁺|non M) = 0,05.
Probabilité totale. P(T⁺) = 0,90 × 0,02 + 0,05 × 0,98 = 0,018 + 0,049 = 0,067.
Bayes. P(M|T⁺) = 0,018/0,067 ≈ 0,2687, soit environ 26,9 %.
Conclusion. L'annonce du médecin est fausse : il confond P(T⁺|M) = 90 % avec P(M|T⁺) ≈ 27 %. Près de trois patients testés positifs sur quatre ne sont pas malades. La faible prévalence (2 %) explique ce résultat, malgré d'excellentes performances du test. Une confirmation par un second test est donc pleinement justifiée.
2. Le médecin propose de faire un second test indépendant, de mêmes caractéristiques, chez les patients déjà positifs au premier. Calculez la probabilité d'être malade après deux tests positifs.
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Nouvelle population. Chez les patients déjà positifs, la prévalence devient P(M) = 0,2687.
Probabilité totale (second test). P(T₂⁺) = 0,90 × 0,2687 + 0,05 × 0,7313 = 0,2418 + 0,0366 = 0,2784.
Bayes. P(M|T₁⁺ et T₂⁺) = 0,2418/0,2784 ≈ 0,8685, soit environ 87 %.
Conclusion. Deux tests positifs indépendants portent la probabilité de maladie à environ 87 %, niveau qui justifie un traitement. L'ordre des tests n'importe pas pour le résultat final, mais le second test est beaucoup plus informatif que le premier : c'est la prévalence qui change, pas la qualité du test. Cette analyse séquentielle est exactement ce que le médecin aurait dû faire avant d'annoncer un chiffre.
3. Sur 1 000 patients testés au premier test, combien de faux positifs et de faux négatifs attend-on ? Commentez l'impact de la spécificité.
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Décomposition sur 1 000 patients. Malades : 20 ; non-malades : 980.
- Vrais positifs : 0,90 × 20 = 18.
- Faux négatifs : 0,10 × 20 = 2.
- Faux positifs : 0,05 × 980 = 49.
- Vrais négatifs : 0,95 × 980 = 931.
Commentaire. Total des positifs : 67, dont seulement 18 malades (26,9 %), ce qui retrouve le calcul de Bayes. Les faux positifs (49) sont presque trois fois plus nombreux que les vrais positifs. Une spécificité de 95 % paraît excellente, mais appliquée à une population majoritairement saine, elle génère beaucoup plus d'erreurs que la sensibilité n'en évite. Améliorer la spécificité à 99 % réduirait les faux positifs à 10 environ, ce qui doublerait presque la valeur prédictive positive.