Choix entre deux formules d'épargne
Un artisan dispose de 1 500 000 FCFA qu'il souhaite placer pendant 4 ans. Sa banque lui propose deux formules. Formule A : intérêts composés au taux annuel de 6 %, capitalisation annuelle. Formule B : intérêts simples au taux annuel de 7 %, mais avec des frais de dossier de 25 000 FCFA prélevés au moment du placement. L'artisan veut connaître la formule la plus rentable et le taux annuel équivalent de chacune. Il envisage aussi de retirer 300 000 FCFA au bout de 2 ans, ce qui modifierait les calculs.
1. Calculez la valeur acquise par chaque formule au bout de 4 ans, sans retrait intermédiaire, et concluez.
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Formule A (composés à 6 %). V_A = 1 500 000 × (1,06)⁴. Or (1,06)² = 1,1236 et (1,1236)² ≈ 1,2625. Donc V_A ≈ 1 500 000 × 1,2625 = 1 893 750 FCFA. Intérêts : 393 750 FCFA.
Formule B (simples à 7 %). Capital effectivement placé : 1 500 000 − 25 000 = 1 475 000 FCFA. Intérêts : 1 475 000 × 0,07 × 4 = 413 000 FCFA. Valeur acquise : 1 475 000 + 413 000 = 1 888 000 FCFA.
Comparaison. V_A ≈ 1 893 750 > V_B = 1 888 000. La formule A est légèrement plus favorable, avec un écart d'environ 5 750 FCFA, soit moins de 0,4 %. L'avantage est faible et pourrait s'inverser si les frais de dossier étaient négociés à la baisse ou si la durée changeait.
2. Calculez le taux annuel effectif de chaque formule sur les 4 ans, en tenant compte des frais pour la formule B.
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Formule A. Le taux effectif est directement 6 %, car il n'y a pas de frais : (1 893 750/1 500 000)^(1/4) − 1 = 1,2625^(1/4) − 1 = 1,06 − 1 = 6 %.
Formule B. On cherche t tel que 1 475 000 × (1 + t)⁴ = 1 888 000, soit (1 + t)⁴ = 1,888/1,475 ≈ 1,2800. Donc 1 + t = 1,2800^(1/4). Par logarithme : ln(1,28) ≈ 0,2469 ; divisé par 4 : 0,06172 ; e^0,06172 ≈ 1,0637. Donc t ≈ 6,37 %.
Conclusion. La formule B affiche un taux nominal de 7 %, mais son taux effectif n'est que d'environ 6,37 %, à peine supérieur à celui de la formule A (6 %). L'écart réel est de 0,37 point, et non de 1 point comme le laisserait croire l'affichage. Les frais de dossier absorbent une part importante de l'avantage apparent.
3. L'artisan retire 300 000 FCFA au bout de 2 ans dans la formule A. Recalculez la valeur acquise à 4 ans et comparez à la formule B sans retrait.
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Étape 1 : capital à 2 ans. 1 500 000 × (1,06)² = 1 500 000 × 1,1236 = 1 685 400 FCFA.
Étape 2 : retrait. 1 685 400 − 300 000 = 1 385 400 FCFA replacés.
Étape 3 : capitalisation sur 2 ans. 1 385 400 × 1,1236 ≈ 1 556 635 FCFA.
Comparaison. Avec retrait, la formule A rapporte environ 1 556 635 FCFA, contre 1 888 000 FCFA pour la formule B sans retrait. Le retrait coûte cher : il prive l'artisan de la capitalisation des 300 000 FCFA sur les deux dernières années, soit environ 300 000 × (1,1236 − 1) ≈ 37 080 FCFA d'intérêts perdus. La formule B devient nettement plus favorable si l'artisan a besoin de liquidités à 2 ans ; sinon, A reste légèrement devant. Le choix dépend donc de la contrainte de trésorerie, pas seulement du taux affiché.