Quelle est la valeur de la limite lim(x→2) (x²−4)/(x−2) ?
- 4 Correct answer.
- 2
- 1
- 0
Explanation
On factorise le numérateur : x²−4=(x−2)(x+2). En simplifiant par (x−2) pour x≠2, l'expression vaut x+2, dont la limite en 2 est 4.
Bac E Bénin practice questions
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La fonction f définie par f(x)=x² est continue sur ℝ. Que vaut lim(x→3) f(x) ?
- 3
- 9 Correct answer.
- 0
- 6
Explanation
Une fonction polynôme est continue sur ℝ, donc la limite en un point est égale à la valeur de la fonction en ce point. Ici f(3)=3²=9.
Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=3x²−5x+1 ?
- 6x−5x
- 6x+1
- 3x−5
- 6x−5 Correct answer.
Explanation
On dérive terme à terme : la dérivée de 3x² est 6x, celle de −5x est −5 et celle de la constante 1 est 0. On obtient donc f′(x)=6x−5.
Que vaut ∫₀¹ 2x dx ?
- 2
- 1 Correct answer.
- 1/2
- 0
Explanation
Une primitive de 2x est x². En évaluant entre 0 et 1, on obtient 1²−0²=1.
Quelle est la solution générale de l'équation différentielle y′=2y ?
- y=2x+C
- y=Ce^{x}
- y=Ce^{2x} Correct answer.
- y=2e^{x}+C
Explanation
L'équation est linéaire homogène du premier ordre y′=ay avec a=2. Ses solutions sont de la forme y=Ce^{2x}, où C est une constante réelle.
La fonction f(x)=1/x est-elle continue en 0 ?
- Non, car elle n'est pas définie en 0 Correct answer.
- Oui, car f(0)=0
- Oui, car la limite est infinie
- Non, car elle est décroissante
Explanation
La continuité en un point exige que la fonction soit définie en ce point. Or 1/x n'est pas défini en 0, donc f n'y est pas continue.
Que vaut lim(x→+∞) (3x+1)/(x−2) ?
- 1
- 0
- +∞
- 3 Correct answer.
Explanation
On divise le numérateur et le dénominateur par x : on obtient (3+1/x)/(1−2/x). Quand x tend vers +∞, les termes 1/x et 2/x tendent vers 0, donc la limite est 3/1=3.
Quelle est la dérivée de f(x)=sin(2x) ?
- −2cos(2x)
- 2sin(2x)
- 2cos(2x) Correct answer.
- cos(2x)
Explanation
On applique la règle de dérivation d'une composée : la dérivée de sin(u) est u′cos(u). Ici u=2x donc u′=2, et f′(x)=2cos(2x).
Que vaut lim(x→0) sin(x)/x ?
- 0
- +∞
- Non définie
- 1 Correct answer.
Explanation
C'est une limite de référence du cours : le taux d'accroissement de sin en 0 tend vers cos(0)=1. On peut aussi l'établir par encadrement géométrique.
La fonction f(x)=|x| est-elle dérivable en 0 ?
- Oui, de dérivée 1
- Oui, de dérivée 0
- Non, car elle n'est pas continue en 0
- Non, car les taux d'accroissement à gauche et à droite diffèrent Correct answer.
Explanation
Le taux d'accroissement vaut −1 pour x<0 et +1 pour x>0. Les limites à gauche et à droite étant différentes, f n'est pas dérivable en 0, bien qu'elle y soit continue.
Que vaut ∫₁² (1/x) dx ?
- e² − e
- ln 2 Correct answer.
- 1/2
- ln 2 − 1
Explanation
Une primitive de 1/x sur ]0,+∞[ est ln x. On obtient donc ln 2 − ln 1 = ln 2, car ln 1 = 0.
Soit (uₙ) la suite définie par uₙ=(2n+1)/(n+3). Quelle est sa limite ?
- +∞
- 0
- 1/3
- 2 Correct answer.
Explanation
On divise numérateur et dénominateur par n : uₙ=(2+1/n)/(1+3/n). Les termes 1/n et 3/n tendent vers 0, donc la limite est 2.
Soit f continue sur [0,2] avec f(0)=−1 et f(2)=3. Que peut-on affirmer ?
- f est dérivable sur [0,2]
- f(1)=1 nécessairement
- f est strictement croissante sur [0,2]
- f s'annule au moins une fois sur [0,2] Correct answer.
Explanation
La fonction f prend des valeurs de signes contraires en 0 et en 2 et elle est continue. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel c dans [0,2] tel que f(c)=0.
Que vaut lim(x→+∞) (x²+1)/(x+1) ?
- +∞ Correct answer.
- 1
- −∞
- 0
Explanation
Le numérateur est de degré 2 et le dénominateur de degré 1. En factorisant par x, on obtient x(1+1/x²)/(1+1/x), expression qui tend vers +∞ car x tend vers +∞.
Quelle est la dérivée de f(x)=x·ln x sur ]0,+∞[ ?
- ln x + 1 Correct answer.
- 1/x
- x/ln x
- ln x
Explanation
On applique la formule de dérivation d'un produit (uv)′=u′v+uv′ avec u=x et v=ln x. On obtient 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1.
Que vaut ∫₀¹ x e^{x} dx ?
- e−1
- e/2
- e
- 1 Correct answer.
Explanation
On intègre par parties avec u=x et v′=e^x : ∫x e^x dx = x e^x − e^x. En évaluant entre 0 et 1, on obtient (e−e)−(0−1)=1.
La fonction f(x)=(x²−1)/(x−1) peut-elle être prolongée par continuité en 1 ?
- Non, car le dénominateur s'annule en 1
- Oui, en posant f(1)=0
- Non, car la limite en 1 est infinie
- Oui, en posant f(1)=2 Correct answer.
Explanation
Pour x≠1, on factorise x²−1=(x−1)(x+1), donc f(x)=x+1 et lim(x→1)f(x)=2. On prolonge par continuité en posant f(1)=2.
Soit f(x)=x³. Quel est le taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h, pour h≠0 ?
- 1+3h
- 3h+h²
- 3+3h+h² Correct answer.
- 3+h
Explanation
On calcule ((1+h)³−1)/h = (1+3h+3h²+h³−1)/h = 3+3h+h². En faisant tendre h vers 0, on retrouve f′(1)=3.
Que vaut lim(x→0⁺) x ln x ?
- 0 Correct answer.
- +∞
- −∞
- 1
Explanation
On écrit x ln x = ln x / (1/x), forme indéterminée ∞/∞. En appliquant la règle de L'Hôpital, on obtient (1/x)/(−1/x²)=−x, qui tend vers 0.
Soit F(x)=∫₀^{x²} e^{t} dt. Que vaut F′(x) ?
- 2x e^{x}
- 2x e^{x²} Correct answer.
- e^{x²}
- e^{x²}−1
Explanation
On pose G(u)=∫₀^{u} e^t dt, de dérivée e^u. En dérivant la composée G(x²), on obtient e^{x²}·(2x)=2x e^{x²}.
L'équation différentielle y″+4y=0 admet pour solutions générales :
- y=Acos x+Bsin x
- y=Acos(2x)+Bsin(2x) Correct answer.
- y=Ae^{2x}+Be^{−2x}
- y=(Ax+B)e^{2x}
Explanation
L'équation caractéristique est r²+4=0, de racines r=±2i. Aux racines imaginaires pures correspondent les solutions y=Acos(2x)+Bsin(2x).
Soit f continue sur [a,b]. La fonction F(x)=∫_a^x f(t) dt est-elle dérivable sur ]a,b[ ?
- Oui, mais seulement si f est positive
- Oui, et F′=f sur ]a,b[ Correct answer.
- Non, sauf si f est dérivable
- Non, F n'est que continue
Explanation
C'est le théorème fondamental de l'analyse : si f est continue sur [a,b], alors F est dérivable sur ]a,b[ et F′(x)=f(x). La continuité de f suffit.
La fonction f(x)=x⁴−2x² admet-elle un maximum local en 0 ?
- Non, car f(0)=0
- Non, car f′(x) ne change pas de signe en 0 Correct answer.
- Oui, car f′(0)=0
- Oui, car f est paire
Explanation
On a f′(x)=4x³−4x=4x(x−1)(x+1). Au voisinage de 0, f′ est positive à gauche et négative à droite : f décroît avant 0 puis croît après, donc 0 est un minimum local, pas un maximum.
Que vaut la dérivée de la fonction f définie par f(x) = cos(3x) sur ℝ ?
- -3 sin(3x) Correct answer.
- -sin(3x)
- -3 cos(3x)
- 3 sin(3x)
Explanation
La dérivée de cos(u) est -u' sin(u). Ici u = 3x, donc u' = 3, ce qui donne f'(x) = -3 sin(3x).
Que vaut lim_{x→0} (e^{2x} - 1)/x ?
- 1
- 0
- 2 Correct answer.
- e^2
Explanation
On reconnaît le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en 0. Plus précisément, (e^{2x} - 1)/x = 2 (e^{2x} - 1)/(2x) et lim_{u→0} (e^u - 1)/u = 1, donc la limite vaut 2.
Quelle est la valeur de l'intégrale ∫₀^{π/2} cos(x) dx ?
- π/2
- 0
- -1
- 1 Correct answer.
Explanation
Une primitive de cos(x) est sin(x). On évalue sin(π/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1.
Que vaut lim_{x→+∞} (2x² - 3x + 1)/(x² + 4) ?
- 1
- +∞
- 2 Correct answer.
- 0
Explanation
On divise le numérateur et le dénominateur par x². On obtient (2 - 3/x + 1/x²)/(1 + 4/x²), dont la limite est 2/1 = 2.
Quelle est la solution générale de l'équation différentielle y' + y = 0 ?
- y(x) = C e^{-x} Correct answer.
- y(x) = C x
- y(x) = C e^x
- y(x) = C cos(x)
Explanation
L'équation s'écrit y' = -y. Les solutions sont de la forme y(x) = C e^{-x}, où C est une constante réelle.
Quelle est la valeur de la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) en x = 1 ?
- 1 Correct answer.
- 0
- 2
- 1/2
Explanation
La dérivée de ln(u) est u'/u. Ici u = x² + 1, donc f'(x) = 2x/(x² + 1). En x = 1, on obtient 2/2 = 1.
Soit f une fonction dérivable sur ℝ. Que peut-on dire de la continuité de f ?
- f est continue seulement en certains points
- f est continue seulement si f' est continue
- f est continue sur ℝ Correct answer.
- f n'est pas nécessairement continue
Explanation
La dérivabilité implique la continuité : si f est dérivable en un point, alors elle y est continue. Donc si f est dérivable sur ℝ, elle est continue sur ℝ.
Que vaut lim_{x→0} (1 - cos x)/x² ?
- 1
- +∞
- 0
- 1/2 Correct answer.
Explanation
On utilise le développement limité 1 - cos x ~ x²/2 au voisinage de 0, ou la formule 1 - cos x = 2 sin²(x/2). Le quotient tend alors vers 1/2.
Quelle est la valeur de l'intégrale ∫₀¹ x² e^{x} dx ?
- e - 2 Correct answer.
- e
- e - 1
- 2e - 1
Explanation
On effectue deux intégrations par parties successives. On obtient ∫ x² e^x dx = (x² - 2x + 2) e^x, et en évaluant entre 0 et 1, on trouve (1 - 2 + 2)e - 2 = e - 2.
Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x - ln(x). Quelle est la limite de f en +∞ ?
- 0
- -∞
- +∞ Correct answer.
- 1
Explanation
On factorise par x : f(x) = x(1 - ln(x)/x). Or ln(x)/x tend vers 0 quand x tend vers +∞, donc f(x) se comporte comme x et tend vers +∞.
Quelle est la solution de l'équation différentielle y' = 3y - 6 avec la condition initiale y(0) = 4 ?
- y(x) = 2 + 2e^{3x} Correct answer.
- y(x) = 4e^{3x} - 6
- y(x) = 2e^{3x} + 2
- y(x) = 4e^{-3x} + 2
Explanation
L'équation s'écrit y' - 3y = -6. La solution générale est y(x) = 2 + C e^{3x}. La condition y(0) = 4 donne 2 + C = 4, donc C = 2.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x. Sur quel intervalle f est-elle strictement croissante ?
- ]-∞, 1[
- ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[ Correct answer.
- ]-1, +∞[
- ]-1, 1[
Explanation
On calcule f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1). La dérivée est positive sur ]-∞, -1[ et sur ]1, +∞[, donc f est strictement croissante sur ces intervalles.
Que vaut lim_{x→0⁺} (1/x - ln x) ?
- 1
- +∞ Correct answer.
- -∞
- 0
Explanation
Quand x tend vers 0⁺, 1/x tend vers +∞ et ln x tend vers -∞. Donc la différence 1/x - ln x tend vers +∞.
Quelle est la valeur de l'intégrale ∫₀^{1} 1/(1+x²) dx ?
- π/4 Correct answer.
- ln 2
- 1
- π/2
Explanation
Une primitive de 1/(1+x²) est arctan(x). On a donc arctan(1) - arctan(0) = π/4 - 0 = π/4.
Soit f une fonction continue sur [0,1] telle que pour tout x de [0,1], 0 ≤ f(x) ≤ 1. Que peut-on dire de l'équation f(x) = x ?
- Elle admet une infinité de solutions
- Elle n'a pas nécessairement de solution
- Elle admet exactement une solution
- Elle admet au moins une solution dans [0,1] Correct answer.
Explanation
On applique le théorème des valeurs intermédiaires à g(x) = f(x) - x. On a g(0) = f(0) ≥ 0 et g(1) = f(1) - 1 ≤ 0. Comme g est continue, elle s'annule au moins une fois sur [0,1].
Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x^x ?
- x^x (ln x + 1) Correct answer.
- x x^{x-1}
- x^x ln x
- x^x
Explanation
On écrit x^x = e^{x ln x}. En dérivant, on obtient e^{x ln x} × (ln x + 1) = x^x (ln x + 1).
Soit f une fonction deux fois dérivable sur ℝ. On suppose que f'(a) = 0 et f''(a) > 0. Que peut-on conclure en x = a ?
- f admet un maximum local en a
- f n'admet pas d'extremum en a
- f admet un minimum local en a Correct answer.
- f admet un point d'inflexion en a
Explanation
La condition f'(a) = 0 indique un point critique. La condition f''(a) > 0 signifie que la dérivée est croissante autour de a, donc f passe de décroissante à croissante : il s'agit d'un minimum local.
Quelle est la valeur de l'intégrale ∫₀^{2} |x - 1| dx ?
- 2
- 1/2
- 0
- 1 Correct answer.
Explanation
On coupe l'intégrale en 1 : ∫₀¹ (1 - x) dx + ∫₁² (x - 1) dx. Chaque intégrale vaut 1/2, donc la somme vaut 1.
Quelle est la solution générale de l'équation différentielle y'' - 3y' + 2y = 0 ?
- y(x) = C₁ e^x + C₂ e^{2x} Correct answer.
- y(x) = (C₁ + C₂ x) e^x
- y(x) = C₁ e^{-x} + C₂ e^{-2x}
- y(x) = C₁ cos x + C₂ sin x
Explanation
L'équation caractéristique est r² - 3r + 2 = 0, de racines r = 1 et r = 2. La solution générale est donc y(x) = C₁ e^x + C₂ e^{2x}.
Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par f(x) = √x. Quelle est la valeur de la dérivée de f en x = 4 ?
- 1/2
- 1/4 Correct answer.
- 2
- 1/8
Explanation
La dérivée de √x est 1/(2√x). En x = 4, on obtient 1/(2×2) = 1/4.
Que vaut lim_{x→0} (tan x)/x ?
- 0
- n'existe pas
- +∞
- 1 Correct answer.
Explanation
On écrit tan x = sin x / cos x. Alors (tan x)/x = (sin x)/x × 1/(cos x). Or sin x/x tend vers 1 et cos x tend vers 1, donc la limite vaut 1.
Quelle est la valeur de l'intégrale ∫₀^{1} x e^{x²} dx ?
- e - 1
- 1/2
- e/2
- (e - 1)/2 Correct answer.
Explanation
On pose u = x², donc du = 2x dx. L'intégrale devient (1/2)∫₀¹ e^u du = (1/2)(e - 1).
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = e^{-x²}. Quelle est l'affirmation exacte concernant ses limites en +∞ et -∞ ?
- f n'admet pas de limite en +∞
- lim_{x→+∞} f(x) = +∞ et lim_{x→-∞} f(x) = 0
- lim_{x→+∞} f(x) = 0 et lim_{x→-∞} f(x) = +∞
- lim_{x→+∞} f(x) = 0 et lim_{x→-∞} f(x) = 0 Correct answer.
Explanation
Quand x tend vers +∞ ou -∞, x² tend vers +∞, donc -x² tend vers -∞ et e^{-x²} tend vers 0. La fonction admet donc la même limite nulle aux deux infinis.
Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x - 1 - ln x. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions ?
- une infinité
- 1 Correct answer.
- 0
- 2
Explanation
On étudie f : f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x. La fonction décroît sur ]0,1] puis croît sur [1, +∞[, avec un minimum en x=1 valant f(1)=0. Donc f(x) ≥ 0 avec égalité seulement en x=1 : une seule solution.
Soit f une fonction continue sur [0,1] et dérivable sur ]0,1[, telle que f(0)=0 et f(1)=1. Que peut-on affirmer sur l'équation f'(x)=1 ?
- Elle admet exactement une solution
- Elle n'admet aucune solution
- Elle admet au moins une solution dans ]0,1[ Correct answer.
- Elle admet une infinité de solutions
Explanation
On applique le théorème des accroissements finis : il existe c dans ]0,1[ tel que f'(c) = (f(1)-f(0))/(1-0) = 1. Donc l'équation f'(x)=1 admet au moins une solution.
Que vaut lim_{x→+∞} (3x² - 5x + 1)/(x² + 2) ?
- 0
- 1
- 3 Correct answer.
- +∞
Explanation
Pour une fraction rationnelle, la limite en +∞ est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur : ici 3x²/x² = 3. Les termes de degré inférieur deviennent négligeables devant x².
Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x² - 4)/(x - 2) pour x ≠ 2. Quelle valeur faut-il donner à f(2) pour que f soit continue en 2 ?
- 2
- 0
- 4 Correct answer.
- Il est impossible de rendre f continue en 2
Explanation
On factorise x² - 4 = (x - 2)(x + 2), donc f(x) = x + 2 pour x ≠ 2 et la limite en 2 vaut 4. La continuité en 2 exige f(2) = lim_{x→2} f(x) = 4, valeur du prolongement par continuité.