Analyse mathématique : limites, continuité, dérivation, intégration, équations différentielles
Ce qu'il faut maîtriser
En analyse, le candidat doit savoir calculer une limite en utilisant les formes indéterminées (factorisation, conjugué, taux d'accroissement), reconnaître les limites de référence et appliquer le théorème des gendarmes. La continuité s'étudie sur un intervalle et en un point : distinguer continuité et dérivabilité est essentiel, car une fonction peut être continue sans être dérivable (valeur absolue en 0). Pour la dérivation, maîtrisez les formules de dérivées, la dérivée d'une composée et le lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Le théorème des valeurs intermédiaires sert à justifier l'existence d'une solution. Pour l'intégration, sachez qu'une primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ et que l'intégrale d'une fonction positive mesure une aire ; le calcul d'intégrales par linéarité et par intégration par parties est fréquent. Enfin, une équation différentielle du type $y'=ay+b$ se résout en trouvant une solution particulière constante puis en ajoutant $Ke^{ax}$.
Pièges classiques
Oublier de vérifier les conditions d'application d'un théorème, confondre primitive et dérivée, omettre la constante d'intégration, ou encore écrire une limite infinie comme un nombre. Attention aussi au sens de variation : le signe de $f'$ donne la monotonie de $f$, pas l'inverse.
Exemple travaillé
Résoudre $y'=2y+4$. La solution particulière constante vérifie $0=2y+4$, donc $y=-2$. Les solutions sont $y(x)=-2+Ke^{2x}$. Si $y(0)=0$, alors $K=2$ et $y(x)=-2+2e^{2x}$.
Règle utile
Pour toute étude de fonction : domaine, limites aux bornes, dérivée, tableau de signes, variations, puis représentation. Cette chaîne évite les oublis.