Algèbre et structures : suites, récurrence, matrices, systèmes linéaires
Ce qu'il faut maîtriser
Les suites se caractérisent par leur mode de génération (explicite ou récurrent) et par leur monotonie. Le raisonnement par récurrence comporte trois étapes : initialisation, hypothèse, hérédité, puis conclusion. Une suite arithmétique a pour terme général $u_n=u_0+nr$ et une suite géométrique $u_n=u_0q^n$ ; savoir calculer la somme des termes est indispensable. Pour les matrices, maîtrisez l'addition, la multiplication (non commutative), le déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3, et l'inverse. Un système linéaire se résout par substitution, combinaison ou méthode de Gauss ; le déterminant non nul garantit une solution unique.
Pièges classiques
Confondre $u_{n+1}$ et $u_n+1$, oublier l'initialisation d'une récurrence, multiplier des matrices dans le mauvais ordre, ou diviser par un déterminant nul. Dans un système, une ligne multipliée par zéro peut faire disparaître une information : vérifiez toujours la compatibilité.
Exemple travaillé
Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\0&3\end{pmatrix}$. Son déterminant vaut $1\times3-2\times0=3\neq0$, donc $A$ est inversible. Pour le système $x+2y=5$, $3y=6$, on obtient $y=2$ puis $x=1$.
Règle utile
Avant tout calcul matriciel, vérifier les dimensions : le produit $AB$ n'existe que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.