Géométrie et calcul numérique : vecteurs, repérage, résolution de problèmes
Ce qu'il faut maîtriser
En géométrie repérée, sachez calculer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$, sa norme $\sqrt{x^2+y^2}$ et le déterminant de deux vecteurs, qui permet de tester la colinéarité : $xy'-x'y=0$. L'équation d'une droite s'écrit $y=mx+p$, où $m$ est le coefficient directeur ; deux droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux, perpendiculaires si $mm'=-1$. Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ sert à calculer un angle ou une orthogonalité. Pour les problèmes de distances et d'aires, le repérage transforme souvent une figure en calcul.
Pièges classiques
Inverser l'ordre des coordonnées dans un vecteur, oublier la racine carrée dans la norme, confondre colinéarité et orthogonalité, ou mal appliquer la condition de perpendicularité. Dans un repère non orthonormé, les formules de norme et de produit scalaire changent : vérifiez toujours la nature du repère.
Exemple travaillé
Soient $A(1;2)$, $B(4;6)$. Alors $\overrightarrow{AB}=(3;4)$ et $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Le vecteur $\vec{v}=(4;-3)$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ car $3\times4+4\times(-3)=0$.
Règle utile
Pour prouver une orthogonalité, calculer le produit scalaire et montrer qu'il est nul ; pour une colinéarité, montrer que le déterminant est nul.