Extremos globais e o alcance real do teste da segunda derivada
Em um projeto de modelagem, um grupo de licenciandos analisa a função f(x) = x³ − 3x² + 2 no intervalo [−1, 3], que descreve, em unidades arbitrárias, o custo de manutenção de uma máquina em função do tempo de uso. O estudante A calcula f'(x) = 3x² − 6x, encontra x = 0 e x = 2, obtém f(0) = 2 e f(2) = −2 e conclui: 'máximo global 2, em x = 0; mínimo global −2, em x = 2'. O estudante B concorda e acrescenta: 'basta ver que f''(0) = −6 < 0; logo x = 0 é o máximo global'. A professora pede que o grupo decida se as conclusões numéricas e as justificativas estão corretas, sabendo que o relatório será avaliado pelo raciocínio, não apenas pelo resultado final.
1. Avalie as conclusões dos dois estudantes: os valores extremos estão corretos? Que passos faltaram? Determine os extremos globais de f em [−1, 3] e explicite o teorema que garante a existência deles.
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Os valores numéricos coincidem com os extremos globais, mas o procedimento e a justificativa estão incompletos. Falta avaliar f nos extremos do intervalo: f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2 e f(3) = 27 − 27 + 2 = 2. Assim, o máximo global é 2, atingido em x = 0 e também em x = 3; o mínimo global é −2, atingido em x = 2 e também em x = −1. O estudante A ignora que extremos globais em intervalo fechado podem ocorrer na fronteira e não percebe a não unicidade dos pontos de máximo e de mínimo.
A justificativa de B é pior do que o resultado: f''(0) < 0 garante apenas que x = 0 é ponto de máximo local, no interior do domínio, e nada diz sobre o valor em x = 3, que empata com f(0). Além disso, a conclusão 'logo é máximo global' é uma inferência inválida a partir do teste da segunda derivada.
A existência dos extremos é garantida pelo teorema de Weierstrass: f é contínua (polinomial) no intervalo fechado e limitado [−1, 3], logo assume máximo e mínimo absolutos nesse intervalo.
2. Apresente um contraexemplo para a afirmação 'se f'(c) = 0 e f''(c) = 0, então c não é ponto de extremo' e outro para 'se c é ponto de máximo local, então f(c) é o máximo global no intervalo'; use funções explícitas e verifique as condições.
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Primeiro contraexemplo: g(x) = x⁴ em ℝ. Temos g'(x) = 4x³ e g''(x) = 12x², de modo que g'(0) = 0 e g''(0) = 0. Ainda assim, x = 0 é ponto de mínimo global, pois x⁴ ≥ 0 = g(0) para todo x. Portanto, anular as duas derivadas não elimina a possibilidade de extremo; o teste da segunda derivada é inconclusivo nesse caso (o da primeira derivada e o estudo de sinal resolvem).
Segundo contraexemplo: h(x) = x³ − 3x² em [−1, 4]. h'(x) = 3x² − 6x, com pontos críticos x = 0 e x = 2; h''(0) = −6 < 0, logo x = 0 é máximo local, com h(0) = 0. Porém h(4) = 64 − 48 = 16, de modo que o máximo global é 16, atingido na fronteira. O máximo local não é global: basta um valor maior em outro ponto do domínio. Esses exemplos mostram por que a distinção local/global precisa ser explicitada no enunciado e verificada por comparação com todos os candidatos, inclusive as extremidades.
3. Redija um comentário de 4 a 6 linhas para o relatório do grupo, distinguindo erro de cálculo, erro de raciocínio e resultado correto com justificativa insuficiente, e indique como essa distinção deve influenciar a nota.
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Comentário: 'Os valores de máximo e mínimo encontrados estão corretos, mas a conclusão de que ocorrem apenas em x = 0 e x = 2 não se sustenta: f(−1) = f(2) = −2 e f(3) = f(0) = 2, de modo que os extremos também ocorrem nas extremidades do intervalo. Além disso, o argumento baseado em f''(0) < 0 estabelece apenas máximo local; afirmar que se trata do máximo global exige comparar com todos os candidatos, inclusive a fronteira. Não há erro de cálculo; há erro de raciocínio na passagem do teste da segunda derivada para a conclusão global, agravado pela ausência de verificação dos extremos do intervalo.'
Quanto à nota: erro de cálculo pontual deve ser penalizado de forma leve e localizada; erro de raciocínio que compromete a validade da conclusão deve ser penalizado com peso maior, ainda que o número final coincida, pois o critério anunciado é o raciocínio. Resultado correto com justificativa insuficiente deve receber crédito parcial explícito, com indicação do que faltou - no caso, a verificação dos extremos e a comparação entre candidatos. Rubrica com descritores separados (cálculo, justificativa, completude dos candidatos) torna essa distinção transparente e replicável.