ENADE Matemática cheat sheet

A BNCC organiza a Matemática em cinco unidades temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e Estatística.

Resolução de problemas segundo Polya: compreender o problema, elaborar um plano, executar o plano e revisar a solução.

Modelagem matemática percorre: situação real, formulação, resolução do modelo, validação e comunicação dos resultados.

Avaliação diagnóstica identifica conhecimentos prévios; formativa regula a aprendizagem; somativa classifica ao final.

Etnomatemática investiga práticas matemáticas de grupos culturais e as articula ao currículo escolar.

A transposição didática transforma o saber científico em saber ensinável, com deslocamentos e reconstruções.

Tendências contemporâneas incluem tecnologia, investigação matemática, modelagem, etnomatemática e resolução de problemas.

Currículo por competências articula conhecimentos, habilidades e atitudes mobilizados em situações concretas.

Limite ε-δ: para todo ε>0 existe δ>0 tal que 0<|x−a|<δ implica |f(x)−L|<ε.

f é contínua em a se lim_{x→a} f(x)=f(a); continuidade implica limite igual ao valor da função.

Derivada: f'(a)=lim_{h→0} [f(a+h)−f(a)]/h, quando o limite existe.

Teorema do Valor Médio: se f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), existe c com f'(c)=(f(b)−f(a))/(b−a).

TFC parte 1: se F(x)=∫_a^x f(t)dt e f é contínua, então F'(x)=f(x).

Série geométrica ∑ ar^n converge se |r|<1 e sua soma é a/(1−r).

Teste da razão: se lim |a_{n+1}/a_n|=L<1, a série ∑a_n converge absolutamente; se L>1, diverge.

Continuidade uniforme: para todo ε>0 existe δ>0 que serve para todos os pontos do domínio.

Espaço vetorial exige fechamento em soma e multiplicação por escalar, associatividade, comutatividade, vetor nulo e opostos.

Base é conjunto linearmente independente que gera o espaço; todas as bases têm a mesma cardinalidade, a dimensão.

Núcleo de T:V→W é {v∈V: T(v)=0}; T é injetora se, e somente se, núcleo={0}.

Teorema do posto-nulidade: dim V = dim(Núcleo T) + dim(Imagem T).

λ é autovalor de A se det(A−λI)=0; autovetores associados satisfazem Av=λv, v≠0.

A é diagonalizável se tem base de autovetores; matriz simétrica real é diagonalizável por base ortonormal.

Posto de uma matriz é a dimensão do espaço coluna e coincide com a dimensão do espaço linha.

Produto interno define norma ||v||=√⟨v,v⟩ e ângulo por cos θ=⟨u,v⟩/(||u|| ||v||).

Teorema de Pitágoras: em triângulo retângulo, a²=b²+c², com a como hipotenusa.

Área do triângulo: A=bh/2; fórmula de Herão: A=√(p(p−a)(p−b)(p−c)), p semiperímetro.

Relação de Euler para poliedros convexos: V−A+F=2.

Equação geral do plano: ax+by+cz+d=0, com vetor normal n=(a,b,c).

Distância de ponto P a plano π: d=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).

Cônica é conjunto de pontos cuja razão entre distância ao foco e à diretriz é a excentricidade e.

Volume do prisma: V=A_base·h; volume da pirâmide: V=A_base·h/3.

Equação da circunferência de centro (h,k) e raio r: (x−h)²+(y−k)²=r².

Axiomas de Kolmogorov: P(Ω)=1, P(A)≥0 e P(∪A_i)=∑P(A_i) para eventos disjuntos.

Probabilidade condicional: P(A|B)=P(A∩B)/P(B), com P(B)>0.

Teorema de Bayes: P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B), útil para atualizar probabilidades.

Valor esperado discreto: E(X)=∑ x_i P(X=x_i); variância: Var(X)=E(X²)−[E(X)]².

Distribuição binomial: P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}, com n ensaios independentes e mesma probabilidade p.

Princípio da casa dos pombos: se n+1 objetos ocupam n caixas, ao menos uma caixa contém dois objetos.

Permutação com repetição: número de arranjos de n objetos com grupos iguais é n!/(n₁!n₂!...n_k!).

Fórmula de Euler para grafos planares conexos: V−A+F=2, incluindo a face externa.

Axiomas de Peano caracterizam os naturais: zero é natural; todo natural tem sucessor; indução vale.

Sistema ZFC: axiomas de Zermelo-Fraenkel com escolha, base usual da matemática contemporânea.

Teorema da incompletude de Gödel: sistemas consistentes e recursivamente axiomatizáveis capazes de aritmética têm proposições indecidíveis.

Geometria não euclidiana surge ao negar o postulado das paralelas; há modelos hiperbólico e elíptico.

Método axiomático deduz teoremas de axiomas primitivos por regras lógicas, separando sintaxe e semântica.

GeoGebra articula geometria, álgebra e cálculo em ambiente dinâmico, favorecendo conjecturas e visualização.

História da Matemática no ensino contextualiza conceitos, mas exige tratamento didático e precisão histórica.

Sistemas de numeração posicionais usam base e valor posicional; conversão de base emprega divisões sucessivas.