Determinante quase nulo, software e a fronteira entre evidência e prova
Um grupo de licenciandos investiga, com um software de álgebra, para quais valores do parâmetro real k o conjunto {v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (2, 5, 7), v₃ = (1, 3, k)} é base do ℝ³. Com k = 4,000001, o software retorna determinante 9,7 × 10⁻⁷. O estudante A conclui: 'o determinante é positivo para todos os valores testados, logo o conjunto é base para todo k real'. O estudante B afirma: 'três vetores em ℝ³ sempre formam base; o determinante apenas confirma isso'. O professor pede que o grupo decida quem tem razão, com argumento exato, e discuta o papel do software na investigação.
1. Calcule o determinante em função de k, determine exatamente os valores de k para os quais o conjunto é base e explique a origem do valor 9,7 × 10⁻⁷. Interprete geometricamente o caso crítico.
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Tomando v₁, v₂, v₃ como linhas da matriz, det = 1·(5k − 21) − 2·(2k − 7) + 3·(6 − 5) = 5k − 21 − 4k + 14 + 3 = k − 4. Logo o conjunto é base se, e somente se, k ≠ 4. Em k = 4, v₃ = (1, 3, 4) = v₂ − v₁, isto é, os três vetores são coplanares (pertencem a um plano que passa pela origem); o paralelepípedo determinado por eles tem volume zero, e o determinante, que mede volume orientado, se anula.
O valor 9,7 × 10⁻⁷ é apenas o determinante exato k − 4 = 10⁻⁶ contaminado por erro de arredondamento e pela perturbação imposta ao parâmetro. Não é evidência de que o determinante nunca se anula: é evidência de que o número testado estava muito próximo de 4. O estudante A comete uma generalização indutiva a partir de uma amostra finita de valores, todos maiores que 4; o estudante B enuncia uma proposição falsa, refutada por (1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0), que são três vetores de ℝ³ linearmente dependentes.
2. Para o valor crítico de k, determine as dimensões do núcleo e da imagem da transformação linear associada à matriz cujas colunas são v₁, v₂, v₃, exiba uma base do núcleo e interprete o resultado.
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Com k = 4, a matriz 3×3 tem posto 2, pois v₁ e v₂ são linearmente independentes (não são múltiplos) e v₃ = v₂ − v₁. Pelo teorema do núcleo e da imagem, dim Ker = 3 − 2 = 1 e dim Im = 2. A imagem é o plano gerado por v₁ e v₂, isto é, o conjunto dos vetores da forma (a + 2b, 2a + 5b, 3a + 7b).
Para o núcleo, resolvemos x·v₁ + y·v₂ + z·v₃ = 0. Como v₃ = v₂ − v₁, temos −v₁ + v₂ − v₃ = 0, e a tripla (x, y, z) = (−1, 1, −1) é solução não nula. Conferindo: −(1, 2, 3) + (2, 5, 7) − (1, 3, 4) = (−1 + 2 − 1, −2 + 5 − 3, −3 + 7 − 4) = (0, 0, 0). Como o núcleo tem dimensão 1, {(−1, 1, −1)} é base.
Interpretação: a aplicação não é injetora (há direções não triviais colapsando na origem) nem sobrejetora (a imagem é um plano, não todo o ℝ³). A dependência linear detectada pelo determinante nulo corresponde exatamente à existência de uma combinação linear não trivial com coeficientes (−1, 1, −1).
3. Descreva como conduzir a atividade em sala para que o software apoie, e não substitua, a demonstração; indique um roteiro com três passos e uma pergunta de fechamento que force a distinção entre evidência numérica e prova.
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Passo 1 - Exploração com controle deslizante: variar k em passos de 0,5 entre 3 e 5, registrando em tabela o sinal do determinante e observando a posição relativa dos três vetores na visualização 3D. O objetivo é levantar a conjectura de que existe um valor crítico, não concluí-la.
Passo 2 - Cálculo exato: obter o determinante simbólico (k − 4), igualar a zero e resolver; comparar a previsão com a tabela. Aqui o software é substituído pelo cálculo, e o estudante percebe que a tabela apenas sugere.
Passo 3 - Teste de robustez: calcular numericamente o determinante em k = 4 e em k = 4,000001 e discutir por que o resultado pequeno, mas não nulo, não autoriza a conclusão de independência; repetir com aritmética exata (frações) para contrastar.
Pergunta de fechamento: 'Se vocês testarem cem valores de k e todos derem determinante não nulo, o teorema está provado? E se o software retornar 10⁻⁷ em k = 4, o que isso mostra sobre o método numérico?'. Espera-se que o grupo conclua que um número finito de testes nunca cobre ℝ, que o erro de arredondamento pode simular independência e que só o argumento simbólico, com a igualdade k − 4 = 0, decide o caso crítico.