Diagonais que se bissetam e são perpendiculares: uma prova que precisa de contraexemplo
Em uma aula de geometria plana, um licenciando apresenta a seguinte demonstração: 'Se as diagonais de um quadrilátero se cortam ao meio e são perpendiculares, então o quadrilátero é um quadrado. Com efeito, como as diagonais se bissetam, a figura é paralelogramo; como são perpendiculares, os quatro ângulos formados no cruzamento são retos; logo é um retângulo com diagonais perpendiculares, isto é, um quadrado.' A professora pede um contraexemplo. Um colega propõe os pontos A(0, 0), B(4, 0), C(5, 3) e D(1, 3) e afirma que servem, porque as diagonais AC e BD têm o mesmo ponto médio. A turma se divide: alguns aceitam o exemplo, outros dizem que falta verificar a perpendicularidade antes de concluir qualquer coisa.
1. Verifique o exemplo proposto pelo colega (ponto médio, perpendicularidade e medidas dos lados) e decida se ele refuta a demonstração. Em seguida, construa um contraexemplo correto, com coordenadas inteiras, exibindo as medidas das diagonais e dos lados.
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Exemplo do colega: AC vai de (0, 0) a (5, 3), com ponto médio (2,5; 1,5); BD vai de (4, 0) a (1, 3), com ponto médio (2,5; 1,5). Logo as diagonais realmente se bissetam e ABCD é paralelogramo. Os vetores são AC = (5, 3) e BD = (−3, 3); o produto escalar é −15 + 9 = −6 ≠ 0, e as inclinações 3/5 e −1 têm produto −3/5, diferente de −1. Portanto as diagonais não são perpendiculares e o exemplo não satisfaz a hipótese: não refuta nada, apenas mostra um paralelogramo oblíquo (lados AB = CD = 4 e BC = DA = √10).
Contraexemplo correto: A(−3, 0), B(0, 4), C(3, 0), D(0, −4). As diagonais AC (de (−3, 0) a (3, 0)) e BD (de (0, 4) a (0, −4)) têm ponto médio (0, 0) e são perpendiculares, pois uma é horizontal e a outra vertical. As diagonais medem 6 e 8, desiguais; os quatro lados medem √(3² + 4²) = 5. É um losango não quadrado, o que refuta a conclusão da demonstração.
2. Localize o passo exato em que a demonstração falha e escreva a proposição verdadeira correspondente, justificando com um argumento dedutivo, não apenas com exemplo.
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A falha está na passagem 'como são perpendiculares, os quatro ângulos formados no cruzamento são retos; logo é um retângulo'. Os ângulos retos no cruzamento das diagonais não são ângulos internos do quadrilátero; a perpendicularidade das diagonais nada diz, por si, sobre os ângulos entre lados consecutivos. O argumento confunde o ângulo entre diagonais com o ângulo interno da figura.
Proposição verdadeira: 'Se as diagonais de um quadrilátero se cortam ao meio e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango; ele é quadrado se, e somente se, as diagonais tiverem medidas iguais'.
Justificativa dedutiva: sejam as diagonais 2u e 2v, que se bissetam na origem. Os vértices podem ser escritos como u + v, u − v, −u + v e −u − v, de modo que os lados consecutivos são 2u e 2v. A perpendicularidade significa u · v = 0, donde |2u|² = 4|u|² e |2v|² = 4|v|² descrevem lados de mesmo comprimento apenas se |u| = |v|. Ora, a perpendicularidade não impõe |u| = |v|; impõe apenas ortogonalidade. Logo os quatro lados são congruentes se, e somente se, |u| = |v|, e nesse caso as diagonais têm medida igual e a figura é quadrado.
3. Proponha uma atividade com geometria dinâmica para que a turma vivencie o contraexemplo; indique quais invariantes devem ser preservados no arrasto e que perguntas fazer.
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Construção: marcar O, traçar duas retas perpendiculares por O; sobre uma delas marcar A e C simetricamente em relação a O (A = O + u, C = O − u) e sobre a outra marcar B e D simetricamente (B = O + v, D = O − v). O quadrilátero ABCD, formado ao unir os quatro pontos, preserva por construção dois invariantes: as diagonais se bissetam em O e são perpendiculares. O que varia livremente é o comprimento de u e de v, isto é, a 'razão de achatamento' do losango.
Arrastar A ao longo de sua reta e observar: os lados permanecem congruentes? Os ângulos internos mudam? Em que momento a figura se torna quadrado? Medir as diagonais e exibir os valores na tela para que a turma veja 6 e 8, depois 5 e 5.
Perguntas: 'Que propriedades ficaram garantidas pelo modo como construímos e que propriedades ainda podem variar?', 'O que precisa ser acrescentado à hipótese para garantir quadrado?', 'O desenho na tela prova o teorema ou apenas ilustra um caso?'. O fechamento deve levar à percepção de que o arrasto gera muitos casos, mas a prova é o argumento sobre u e v, válido para todos.