Cálculo Diferencial e Integral e Análise
Limites, derivadas e integrais
É preciso dominar limite, continuidade, derivabilidade, integral definida e Teorema Fundamental do Cálculo, além de sequências, séries e critérios de convergência. Em Análise, entenda completude, teorema de Weierstrass, valor intermediário e valor médio, e distinga continuidade de continuidade uniforme. As armadilhas clássicas: supor que continuidade implica derivabilidade; concluir máximo só porque f'(x)=0; aplicar o TFC sem continuidade do integrando; trocar limite e integral sem hipótese; e tratar série convergente como absolutamente convergente.
Exemplo resolvido
Considere f(x)=|x| em x=0. A continuidade vale, pois lim_{x→0} f(x)=0=f(0). Para derivada, calculamos a razão incremental: para x>0, (x-0)/x=1; para x<0, (-x-0)/x=-1. Os limites laterais diferem, logo f'(0) não existe. Esse exemplo derruba a falsa regra “contínua, então derivável”.
Regra de ouro
Antes de derivar ou integrar, confira hipóteses. Para mostrar não derivabilidade, use limites laterais da razão incremental. Para integrais impróprias, separe por singularidades e analise cada limite. Em séries, teste a condição necessária (termo tende a zero), mas lembre que ela não é suficiente: a harmônica diverge. Em problemas de máximo e mínimo, verifique domínio, pontos críticos e fronteira; f'(x)=0 é candidato, não conclusão.