Álgebra Linear e Estruturas Algébricas
Espaços vetoriais e estruturas
O candidato deve operar com espaços vetoriais, subespaços, independência linear, base, dimensão, transformações lineares, núcleo, imagem e o teorema do núcleo-imagem. Em estruturas algébricas, distinga grupo, anel, corpo, subgrupo, subgrupo normal, homomorfismo e isomorfismo; saiba verificar fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso. Armadilhas frequentes: confundir conjunto gerador com base; achar que toda matriz é diagonalizável; trocar posto por nulidade; e supor que ordem de um elemento coincide com a ordem do grupo.
Exemplo resolvido
Seja T:R^3→R^2 linear com dim ker T=1. Pelo teorema do núcleo-imagem, dim R^3 = dim ker T + dim Im T, logo 3=1+dim Im T e dim Im T=2; como o contradomínio tem dimensão 2, T é sobrejetora, mas não injetora. Outro exemplo: A=[[2,1],[0,2]] tem autovalor 2 (duplo). Resolvendo (A-2I)v=0, obtém-se apenas v=(1,0) como autovetor independente; logo A não é diagonalizável. Não basta contar multiplicidade algébrica: é preciso comparar com a geométrica.
Regra de ouro
Para diagonalizar, calcule autovalores, depois autovetores; se a soma das dimensões dos autoespaços não for a dimensão do espaço, não há base de autovetores. Em grupos, verifique os axiomas com exemplos pequenos antes de usar propriedades.