La suite de carreaux de la cour
Des élèves décorent la cour avec des carreaux formant des figures. Figure 1 utilise 3 carreaux, figure 2 en utilise 5, figure 3 en utilise 7, et figure 4 en utilise 9. La règle semble être « ajouter 2 carreaux à chaque fois ». Une élève remarque qu'on peut aussi calculer le nombre de carreaux avec la règle « 2 × numéro de la figure + 1 ». Le groupe doit prévoir la figure 10 et vérifier la règle. Une autre classe propose une règle différente : « doubler le nombre précédent puis enlever 1 », ce qui donne 3, 5, 9, 17…
1. Vérifie la règle « 2 × numéro + 1 » pour les figures 1 à 4, puis prévois le nombre de carreaux de la figure 10.
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Vérification :
- Figure 1 : 2 × 1 + 1 = 3 ✓
- Figure 2 : 2 × 2 + 1 = 5 ✓
- Figure 3 : 2 × 3 + 1 = 7 ✓
- Figure 4 : 2 × 4 + 1 = 9 ✓
La règle fonctionne pour les quatre figures.
Figure 10 : 2 × 10 + 1 = 21 carreaux.
Lien avec « ajouter 2 » : partir de 3 et ajouter 2 neuf fois donne 3 + 9 × 2 = 3 + 18 = 21. Les deux règles donnent le même résultat, car 2 × n + 1 = 3 + 2 × (n − 1).
La figure 10 utilisera 21 carreaux.
2. La règle « doubler puis enlever 1 » donne 3, 5, 9, 17. Est-ce la même suite que 3, 5, 7, 9? Explique où les deux suites se séparent et laquelle correspond aux figures observées.
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Comparaison des deux suites :
- Suite A (ajouter 2) : 3, 5, 7, 9, 11…
- Suite B (doubler puis enlever 1) : 3, 5, 9, 17, 33…
Les deux suites donnent 3 puis 5. Elles se séparent à la troisième figure : la suite A donne 7, la suite B donne 9.
Laquelle est correcte? Les figures observées utilisent 3, 5, 7 et 9 carreaux. La figure 3 utilise 7 carreaux, pas 9. Donc la suite B ne correspond pas aux données : elle est éliminée par la troisième figure.
La suite A est la bonne, car elle respecte les quatre observations. Une règle n'est valable que si elle prédit correctement toutes les données connues, pas seulement les deux premières.
3. La figure n utilise 2 × n + 1 carreaux. Écris une équation pour trouver le numéro de la figure qui utiliserait 31 carreaux, puis résous-la.
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Équation : 2 × n + 1 = 31, où n est le numéro de la figure (un nombre entier).
Résolution :
- Enlever 1 des deux côtés : 2 × n = 30
- Diviser par 2 : n = 15
Vérification : 2 × 15 + 1 = 30 + 1 = 31 ✓
La figure 15 utiliserait 31 carreaux.
Remarque : comme la suite augmente de 2, tous les nombres impairs apparaissent (3, 5, 7, …). Un nombre pair comme 30 ne pourrait jamais être le nombre de carreaux d'une figure.