Clôture d'un champ à Maluku : surface maximale sous contrainte de budget
Une coopérative agricole de Maluku clôture un champ rectangulaire dont un grand côté suit la rivière ; cette berge reste ouverte, sans clôture. Une clôture médiane, perpendiculaire à la rivière, partage le champ en deux parcs d'égale superficie. On note x la longueur du grand côté, parallèle à la rivière, et y la largeur d'un parc, en mètres. Le grillage se vend en panneaux entiers de 4 m et la coopérative refuse de découper un panneau : les chutes sont perdues. Le côté court qui borde la piste d'accès doit être renforcé et coûte 12 000 FC par mètre ; tous les autres segments clôturés coûtent 8 000 FC par mètre. Le budget voté est de 1 920 000 FC. Le conseil impose par ailleurs une largeur de parc d'au moins 30 m pour le passage d'un tracteur. Un premier devis, établi sans tenir compte du renforcement, prévoit 240 m de grillage standard. Le trésorier soutient que le budget voté permettra de clôturer une superficie au moins égale à celle obtenue avec ces 240 m.
1. En traitant d'abord le grillage comme un matériau continu (on peut couper à la mesure) et sans tenir compte du renforcement, établir l'aire totale A en fonction de y, déterminer les dimensions qui la maximisent sous la contrainte des 240 m, puis vérifier la contrainte de largeur.
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Mise en équation de la clôture. Le grand côté x n'est pas clôturé ; il faut clôturer l'autre grand côté (longueur x) et trois largeurs (les deux extrémités et la médiane), donc x + 3y = 240, soit x = 240 − 3y.
Fonction à maximiser. A(y) = xy = (240 − 3y)y = 240y − 3y², définie pour 0 < y < 80 (il faut x > 0).
Dérivation. A′(y) = 240 − 6y ; A′(y) = 0 donne y = 40 m. A″ = −6 < 0 : c'est bien un maximum.
Bornes. A(0) = 0 et A(80) = 0 ; le point critique est donc le maximum global, et non un extremum local isolé.
Valeurs. x = 240 − 3 × 40 = 120 m ; A = 120 × 40 = 4 800 m², soit deux parcs de 2 400 m².
Contrainte de largeur. y = 40 m ≥ 30 m : le tracteur passe sans difficulté.
Réponse : x = 120 m, y = 40 m, aire totale 4 800 m².
2. Reprendre le problème avec le budget réel : exprimer le coût en fonction de x et de y, en déduire la relation liant x et y à budget saturé, puis déterminer les dimensions optimales et l'aire obtenue. Le trésorier a-t-il raison ?
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Expression du coût. Le côté court renforcé coûte 12 000 y. Les deux autres segments de largeur (l'extrémité restante et la médiane) ainsi que le grand côté clôturé coûtent 8 000(y + y + x). C = 12 000y + 8 000(x + 2y) = 8 000x + 28 000y.
Budget saturé. À l'optimum, tout le budget est utilisé : sinon on pourrait allonger une clôture et gagner de la surface. Donc 8 000x + 28 000y = 1 920 000, soit, en divisant par 8 000 : x + 3,5y = 240, d'où x = 240 − 3,5y.
Maximisation. A(y) = (240 − 3,5y)y = 240y − 3,5y² ; A′(y) = 240 − 7y = 0 → y = 240/7 ≈ 34,29 m. Alors x = 240 − 3,5 × 34,29 = 120 m et A = 120 × 34,29 ≈ 4 114 m². A″ = −7 < 0 : maximum confirmé.
Vérifications. y ≈ 34,3 m ≥ 30 m : la contrainte de largeur reste respectée, elle n'est donc pas saturée ; seule la contrainte de budget l'est.
Jugement sur le trésorier. 4 114 m² < 4 800 m² : le renforcement du côté piste fait perdre environ 14 % de surface. Le trésorier a tort ; le renforcement se paie en mètres de clôture et ne peut pas être ignoré dans le devis.
3. Les panneaux entiers changent la donne : x et y doivent être des multiples de 4 m. Montrer que le problème revient à maximiser 16ab sous la contrainte 7a + 2b ≤ 120 avec a et b entiers, puis déterminer la meilleure configuration et vérifier le coût exact.
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Passage aux variables entières. Posons x = 4b et y = 4a, avec a et b entiers naturels non nuls. Le coût s'écrit 8 000(4b) + 28 000(4a) ≤ 1 920 000, soit 32 000b + 112 000a ≤ 1 920 000. En divisant par 16 000 : 2b + 7a ≤ 120. L'aire vaut A = 16ab.
Recherche du maximum. Pour a fixé, le meilleur b est b = ⌊(120 − 7a)/2⌋, car A croît avec b :
- a = 7 → 2b ≤ 71 → b = 35 → A = 16 × 7 × 35 = 3 920 m² ;
- a = 8 → 2b ≤ 64 → b = 32 → A = 16 × 8 × 32 = 4 096 m² ;
- a = 9 → 2b ≤ 57 → b = 28 → A = 4 032 m². Le maximum est atteint pour a = 8, b = 32.
Contrôle du budget. Coût = 8 000 × 128 + 28 000 × 32 = 1 024 000 + 896 000 = 1 920 000 FC : le budget est exactement saturé, sans dépassement.
Contrôle de la largeur. y = 4 × 8 = 32 m ≥ 30 m : la contrainte du tracteur est respectée.
Interprétation pratique. La contrainte « panneaux entiers » coûte 18 m² par rapport à l'optimum continu (4 096 contre 4 114), soit moins de 0,5 % : elle est acceptable. Le devis à retenir est 128 m × 32 m, soit 32 panneaux pour le grand côté et 8 panneaux par segment de largeur, donc 56 panneaux au total.