Lampe 6 V / 3 W : mesurer, modéliser, décider
Au laboratoire de physique de l'Institut, un groupe d'élèves monte en série une pile (f.é.m. E = 12,0 V, résistance interne r = 0,8 Ω), un conducteur ohmique R = 11,2 Ω et une lampe portant l'inscription « 6 V ; 3 W ». Un ampèremètre numérique de résistance interne 0,5 Ω est inséré dans le circuit. Le calcul fait en négligeant r et la résistance de l'appareil donne 0,52 A ; l'ampèremètre affiche 0,49 A. Pour « éclairer davantage », le chef de groupe veut remplacer R par une valeur plus faible. Le magasin ne dispose que de résistances de 4,7 Ω et de 6,8 Ω, en nombre suffisant, que l'on peut associer en série. Le professeur conteste par ailleurs l'hypothèse d'une lampe ohmique : la résistance du filament de tungstène croît fortement avec la température, alors que le calcul la suppose constante à 12 Ω. Le compte rendu devra trancher trois points : l'origine de l'écart de courant, la validité du remplacement de R, et la portée de l'hypothèse « 12 Ω constants ».
1. Retrouver le calcul simplifié du groupe, puis le calcul complet incluant la résistance interne et celle de l'ampèremètre. L'écart entre 0,52 A et 0,49 A est-il une erreur de mesure ?
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Point nominal de la lampe. I_n = P/U = 3/6 = 0,5 A, donc R_lampe = U/I = 6/0,5 = 12 Ω, ce que l'énoncé confirme comme hypothèse de travail.
Calcul simplifié du groupe. I = E/(R + R_lampe) = 12/(11,2 + 12) = 12/23,2 = 0,517 A ≈ 0,52 A. C'est bien ce calcul-là qui produit la valeur contestée : la mesure n'est pas en cause.
Calcul complet. Toutes les résistances sont en série : R_tot = r + R_A + R + R_lampe = 0,8 + 0,5 + 11,2 + 12 = 24,5 Ω, d'où I = 12/24,5 = 0,4898 A ≈ 0,49 A, exactement la valeur affichée.
Conséquences chiffrées. U_lampe = 0,4898 × 12 = 5,88 V ; P_lampe = 5,88 × 0,4898 ≈ 2,88 W, soit 4 % sous le régime nominal : la lampe éclaire normalement, très légèrement en dessous de ses caractéristiques. Chute de tension dans l'ampèremètre : 0,4898 × 0,5 = 0,245 V, soit 2 % de la f.é.m.
Conclusion. L'écart n'est pas une erreur de mesure mais une erreur de modèle : le calcul simplifié oublie deux résistances. Un ampèremètre réel perturbe toujours le circuit, et d'autant plus que les autres résistances sont faibles ; ici, 1,3 Ω « oubliés » sur 24,5 Ω représentent 5 % du courant.
2. Évaluer la proposition du chef de groupe : que se passerait-il avec 4,7 Ω, puis avec 6,8 Ω ? Proposer une utilisation du stock disponible qui respecte la lampe.
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Essai avec 4,7 Ω. R_tot = 0,8 + 0,5 + 4,7 + 12 = 18 Ω ; I = 12/18 = 0,667 A ; U_lampe = 0,667 × 12 = 8,0 V ; P_lampe = 8,0 × 0,667 ≈ 5,33 W.
Essai avec 6,8 Ω. R_tot = 0,8 + 0,5 + 6,8 + 12 = 20,1 Ω ; I = 0,597 A ; U_lampe = 7,16 V ; P_lampe ≈ 4,28 W.
Jugement. La lampe est prévue pour 6 V et 3 W. À 8,0 V elle dissipe 78 % de plus que sa puissance nominale ; à 7,16 V, encore 43 % de plus. Cette surpuissance part en chaleur dans un filament déjà proche de sa limite : la durée de vie s'effondre, avec un risque de rupture immédiate. Aucune des deux résistances ne doit être montée seule : réduire R ne « répartit » pas mieux la tension, cela déplace toute la chute de tension vers la lampe.
Solution avec le stock. En série, 4,7 + 6,8 = 11,5 Ω, très proche des 11,2 Ω d'origine : R_tot = 24,3 Ω, I = 0,494 A, U_lampe = 5,93 V, P = 2,93 W, soit 2 % sous le nominal. C'est la seule combinaison raisonnable à proposer. Il faut aussi expliquer au chef de groupe que l'éclairement ne s'obtient pas en diminuant R mais en changeant de lampe ou en augmentant la tension d'alimentation dans les limites du constructeur.
3. Le professeur conteste l'hypothèse d'une résistance de 12 Ω constante. Dans quel sens cette hypothèse fausse-t-elle les calculs, et la conclusion sur le remplacement de R est-elle modifiée ?
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Physique du filament. Le tungstène a un coefficient de température élevé : à froid, la résistance du filament est environ dix fois plus faible qu'à l'incandescence. Les 12 Ω déduits de « 6 V ; 3 W » ne valent qu'au point de fonctionnement nominal ; ailleurs, R dépend de la température, donc du courant.
Sens de l'erreur, cas 4,7 Ω. Si le courant était réellement de 0,667 A, le filament chaufferait au-delà de sa température nominale et sa résistance dépasserait 12 Ω ; le courant réel serait donc inférieur à 0,667 A et la tension réelle inférieure à 8,0 V.
La conclusion change-t-elle ? Non, elle est même renforcée. Pour que la lampe retrouve 6 V avec R = 4,7 Ω, il faudrait que sa propre résistance descende à 6,0 Ω, puisque les autres résistances valent 0,8 + 0,5 + 4,7 = 6,0 Ω. Or le chauffage ne fait qu'augmenter cette résistance au-dessus de 12 Ω : la tension d'équilibre reste donc supérieure ou égale à 8,0 V. L'hypothèse « 12 Ω constants » sous-estime le danger, elle ne le crée pas.
Méthode correcte. Il faut la caractéristique U–I de la lampe, ou une résolution itérative (estimer R, recalculer I, en déduire la température, corriger R). À défaut, la mesure directe de la tension aux bornes de la lampe tranche immédiatement : le groupe disposait d'un voltmètre et aurait dû l'utiliser au lieu de raisonner uniquement sur le courant.