Mathématiques : analyse, algèbre et géométrie
L'épreuve de mathématiques du concours polytechnique de l'UNIKIN vérifie trois choses : la maîtrise des techniques de calcul, la rigueur du raisonnement et la capacité à traduire une situation géométrique ou algébrique en une ou deux lignes d'équations. Les exercices sont courts et souvent liés en deux parties : une étude de fonction, de suite ou de matrice, puis une question de synthèse qui réutilise le résultat précédent.
Analyse
- Poser le domaine de définition avant tout calcul : une simplification qui élargit l'ensemble de départ est une faute de raisonnement, pas un détail.
- Limites : factoriser par le terme dominant, reconnaître sin x / x → 1 et (1 − cos x)/x² → 1/2 quand x → 0, appliquer les croissances comparées (ln x négligeable devant x^n, elle-même négligeable devant e^x).
- Dérivation : quotient, composée, logarithme (signe et valeur absolue), dérivée de la réciproque.
- Intégration : primitives usuelles, linéarité, intégration par parties ; on vérifie toujours en dérivant le résultat.
- Suites : convergence monotone et bornée, suites récurrentes u(n+1) = f(u(n)) et recherche de points fixes.
Algèbre et géométrie
- Matrices : le produit n'est pas commutatif ; déterminant nul ⇔ matrice non inversible ; le rang se lit au nombre de pivots après échelonnement.
- Systèmes linéaires : discuter selon le rang de la matrice et celui de la matrice augmentée (solution unique, infinité, aucune).
- Géométrie de l'espace : produit scalaire pour l'orthogonalité, produit vectoriel pour une normale de plan, distance d'un point à un plan = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²), équation de sphère par complétion de carrés.
Exemple rédigé
Calculer I = ∫₀¹ x e^(−x) dx. On pose u = x et dv = e^(−x) dx, donc du = dx et v = −e^(−x). Alors I = [−x e^(−x)]₀¹ + ∫₀¹ e^(−x) dx = −1/e + [−e^(−x)]₀¹ = −1/e + 1 − 1/e = 1 − 2/e ≈ 0,264. Contrôle de vraisemblance : sur [0 ; 1], x e^(−x) est positive et majorée par 1/e ≈ 0,37 ; l'ordre de grandeur est donc cohérent.
Pièges qui coûtent des points
- Oublier la dérivée intérieure dans une composée, ou le signe moins dans la dérivée de 1/x.
- Confondre déterminant nul et système sans solution : un système peut avoir une infinité de solutions.
- Travailler en degrés dans une limite trigonométrique faisant intervenir x en radians.
- Conclure sur le signe d'une expression sans tableau de signes, ou oublier la constante dans une primitive.
- Répondre par une valeur numérique sans justifier le passage à la limite demandé par l'énoncé.