Proportionnalité au CM2 : l'élève qui ajoute 200 F
Dans une classe de CM2 de 42 élèves, le maître propose : « 3 stylos identiques coûtent 900 F. Combien coûtent 5 stylos ? » Les réponses se répartissent ainsi : 27 élèves écrivent 1 100 F, 8 écrivent 1 500 F, 7 ne répondent pas. Interrogé, un élève explique : « J'ai ajouté 2 stylos, donc j'ajoute 200 F. » Le maître constate que la plupart savent calculer 900 ÷ 3, mais qu'ils ne relient pas ce résultat au prix d'un seul stylo. Le programme du trimestre porte sur la proportionnalité et la règle de trois. Il reste trois séances, dont une évaluation. Le manuel propose un tableau de proportionnalité, mais le maître craint que les élèves le remplissent sans comprendre. Il veut aussi éviter de réduire la leçon à une recette. Les élèves disposent d'ardoises et de craies.
1. Analysez la logique des 27 élèves qui répondent 1 100 F. Pourquoi cette erreur est-elle stable, et pourquoi ne suffit-il pas de dire qu'elle est fausse ?
Read the worked answer
Logique additive. Les élèves transfèrent la différence observée sur les objets (5 − 3 = 2) sur les prix, en inventant 200 F. Leur calcul est cohérent avec une hypothèse implicite fausse : un stylo coûterait 100 F. Or 900 ÷ 3 = 300 F.
Stabilité. Ce raisonnement fonctionne dans beaucoup de situations additives (âges, longueurs, recettes) et le résultat 1 100 F n'est pas absurde. Il résiste parce que l'élève ne contrôle pas l'invariance du prix unitaire.
Conséquence pédagogique. Dire « c'est faux » ne suffit pas : il faut confronter les deux hypothèses. Faire vérifier que 3 stylos à 100 F coûteraient 300 F, pas 900 F. Puis faire calculer le prix d'un stylo et l'appliquer à 5. L'erreur doit devenir un objet d'étude, pas une faute honteuse.
2. Construisez une situation de proportionnalité avec un tableau, une trace écrite et un contre-exemple. Justifiez le choix du contexte.
Read the worked answer
Situation. Au marché de Daloa, 3 kg de riz coûtent 1 800 F. Combien coûtent 5 kg ?
Déroulement.
- Faire reformuler : que cherche-t-on ?
- Chercher le prix d'1 kg : 1 800 ÷ 3 = 600 F.
- Construire un tableau : quantité 1, 3, 5 ; prix 600, 1 800, 3 000.
- Vérifier : 5 × 600 = 3 000 ; 3 × 600 = 1 800.
- Confronter à l'erreur additive : « si 5 kg coûtaient 2 000 F, combien coûterait 1 kg ? » 400 F, ce qui contredit 1 800 F pour 3 kg.
Trace écrite. « Pour passer d'une quantité à une autre, je cherche d'abord le prix d'une unité, puis je multiplie. »
Contre-exemple. La taille d'un enfant n'est pas proportionnelle à son âge : à 3 ans 100 cm, à 6 ans 200 cm est faux. Cela évite la recette aveugle et montre quand la proportionnalité ne s'applique pas.
3. Proposez trois items d'évaluation, dont un piège, et précisez ce que vous évaluez réellement.
Read the worked answer
Item 1. 4 cahiers coûtent 1 200 F. Combien coûtent 7 cahiers ? Réponse attendue : 2 100 F, avec justification par le prix d'un cahier (300 F).
Item 2. « 2 stylos coûtent 500 F ; 4 stylos coûtent 1 000 F. Peut-on dire que 6 stylos coûtent 1 500 F ? » L'élève doit expliciter le coefficient.
Item 3 (piège). « Un enfant de 2 ans mesure 80 cm ; à 4 ans, mesure-t-il 160 cm ? » Réponse : non, ce n'est pas une situation de proportionnalité.
Critères. Résultat exact, passage par l'unité ou coefficient explicite, contrôle de vraisemblance. On évalue la justification, pas seulement le nombre. Une erreur de calcul n'est pas la même chose qu'une erreur de modèle : le maître doit pouvoir les distinguer dans les copies pour choisir la remédiation.