Silo cylindrique : contrainte de hauteur et coût minimal
Une unité de l'INP-HB doit fabriquer un silo cylindrique ouvert de volume intérieur V = 36 m³. La paroi latérale est en tôle à 12 000 FCFA/m² et le fond à 18 000 FCFA/m² ; le couvercle est supprimé. Le règlement de sécurité impose un rayon r ≤ 2,00 m et une hauteur h ≤ 6,00 m. Un stagiaire affirme que le coût est minimal lorsque h = 2r, car « c'est la forme la plus compacte ». Le responsable technique doute : il a mesuré que pour r = 1,50 m le coût dépasse 700 000 FCFA, alors que pour r = 1,95 m il tombe sous 660 000 FCFA. Il demande une étude rigoureuse avant de lancer la commande de tôle. Le budget maximal est fixé à 670 000 FCFA, hors main-d'œuvre. On néglige l'épaisseur de la tôle et les pertes de découpe. Les soudures, non chiffrées ici, sont supposées proportionnelles au périmètre et ne modifient pas l'optimum.
1. Écrire le coût total C(r) en fonction du rayon r, en explicitant l'expression de h issue de la contrainte de volume, puis préciser le domaine d'étude.
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Le volume fixe h : πr²h = 36, donc h = 36/(πr²). La surface latérale vaut 2πrh = 72/r ; le fond vaut πr². D'où C(r) = 12 000×(72/r) + 18 000×πr² = 864 000/r + 18 000πr². La contrainte h ≤ 6 donne 36/(πr²) ≤ 6, soit r² ≥ 6/π, donc r ≥ √(6/π) ≈ 1,382 m. La contrainte r ≤ 2 donne le domaine [1,382 ; 2,00]. Il faut garder cette borne inférieure : elle interdit les rayons trop petits, qui rendraient le silo trop haut.
2. Déterminer le rayon qui minimise C(r) sur ce domaine. Le stagiaire a-t-il raison ? Comparer avec la valeur r = 1,95 m et conclure sur le budget.
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C'(r) = −864 000/r² + 36 000πr. C' = 0 donne r³ = 864 000/(36 000π) = 24/π ≈ 7,639, donc r* ≈ 1,969 m. C''(r) = 2×864 000/r³ + 36 000π > 0 : c'est bien un minimum. h* = 36/(π×1,969²) ≈ 2,96 m, soit h* ≈ 1,5r*, et non 2r. Le stagiaire a tort. Coût C(1,969) ≈ 864 000/1,969 + 18 000π×3,877 ≈ 438 800 + 219 300 ≈ 658 100 FCFA. À r = 1,95 : C ≈ 443 100 + 215 000 ≈ 658 100 FCFA, écart quasi nul. Le budget de 670 000 FCFA est respecté.
3. Un technicien propose de fixer r = 2,00 m pour simplifier l'approvisionnement en tôle. Ce choix est-il acceptable économiquement et techniquement ?
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Fixer r = 2,00 m donne h = 36/(4π) ≈ 2,865 m, dans les limites. Le coût vaut 432 000 + 18 000π×4 ≈ 658 200 FCFA, soit environ 100 FCFA de plus que l'optimum : économiquement négligeable. Mais r = 2,00 m est exactement la borne de sécurité ; une tolérance de fabrication positive violerait la contrainte. Il est donc plus robuste de retenir r ≈ 1,96 m (ou 1,95 m) avec une marge, plutôt que la valeur limite. Le choix r = 2 peut être accepté seulement si le procédé garantit r ≤ 2,00 m.