Concours INP-HB CPGE flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Théorème des accroissements finis

Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que f(b) − f(a) = f′(c)(b − a). Il relie variation globale et dérivée locale.

Développement limité de e^x

Au voisinage de zéro : e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³). Ce développement sert à lever des indéterminations et à calculer des limites de quotients.

Série de Riemann

La série de terme général 1/n^α converge si et seulement si α > 1. C'est le critère de comparaison de référence pour les séries à termes positifs.

Formule des probabilités totales

Pour une partition (B_i) de l'univers, P(A) = ∑ P(A|B_i)·P(B_i). Elle permet de calculer une probabilité en décomposant selon des cas exhaustifs.

Loi binomiale B(n,p)

P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), avec E(X) = np et V(X) = np(1−p). Elle modélise le nombre de succès de n épreuves de Bernoulli indépendantes.

Matrice diagonalisable

Une matrice carrée d'ordre n est diagonalisable si elle possède n valeurs propres distinctes, ou plus généralement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut n.

Intégration par parties

∫ₐᵇ u′v dx = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ uv′ dx. On choisit u′ facile à primitiver et v dont la dérivée simplifie l'intégrale restante.

Équation différentielle y″ + ω²y = 0

Les solutions sont y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx), où A et B sont fixés par les conditions initiales. Ce modèle décrit l'oscillateur harmonique non amorti.

Loi de Snell-Descartes

À l'interface entre deux milieux d'indices n₁ et n₂ : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂. Elle explique la réfraction et le phénomène de réflexion totale interne.

Constante de temps d'un circuit RC

τ = RC, homogène à un temps. Lors de la charge, q(t) = Q(1 − e^(−t/τ)) ; au bout de τ, la charge atteint environ 63 % de sa valeur finale.

Fréquence propre d'un circuit RLC

f₀ = 1/(2π√(LC)). À cette fréquence, l'impédance du circuit série est minimale et l'intensité du courant est maximale : c'est la résonance.

pH d'un acide faible

Pour un acide faible de concentration C et de constante Ka, pH ≈ ½(pKa − log C), approximation valable si le taux de dissociation reste faible devant 1.

Relation de Nernst

E = E° + (0,06/n)·log([Ox]/[Red]) à 25 °C. Elle donne le potentiel d'électrode hors conditions standard et permet de prévoir le sens des réactions redox.

Temps de demi-réaction ordre 1

Pour une loi de vitesse d'ordre 1, t₁/₂ = ln2/k ≈ 0,693/k. Ce temps est indépendant de la concentration initiale, signature de l'ordre 1.

Principe fondamental de la dynamique

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un système de masse m vaut m·a. C'est la base de toute étude mécanique.

Conservation de l'énergie mécanique

E_m = ½mv² + E_p reste constante si seules des forces conservatives travaillent. La variation de E_m égale le travail des forces non conservatives, comme le frottement.

Chaîne d'énergie d'un système

Suite alimenter → distribuer → convertir → transmettre → agir, qui décrit le flux d'énergie depuis la source jusqu'à l'effecteur. La chaîne d'information acquiert, traite et communique.

Rapport de réduction d'engrenage

r = ω_sortie/ω_entrée = Z_menante/Z_menée, où Z est le nombre de dents. Un réducteur diminue la vitesse et augmente le couple, aux pertes près.

Fonction de transfert premier ordre

H(p) = K/(1 + τp). La réponse indicielle est exponentielle de constante τ ; le temps de réponse à 5 % vaut environ 3τ et le gain statique est K.

Théorèmes de De Morgan

NON(A ET B) = NON A OU NON B, et NON(A OU B) = NON A ET NON B. Ces identités permettent de transformer un schéma logique en portes NAND ou NOR.

Correcteur proportionnel-intégral

Un correcteur PI ajoute un terme intégral qui annule l'erreur statique en régime permanent, au prix d'une possible réduction de la marge de phase.

Résolution d'un codeur incrémental

La résolution angulaire vaut 360° divisé par le nombre de points par tour. Un codeur délivre des impulsions proportionnelles au déplacement angulaire mesuré.

Loi de Hooke en traction

σ = E·ε, où σ est la contrainte en Pa, E le module d'Young et ε la déformation relative. La condition de résistance impose σ ≤ σ_limite / coefficient de sécurité.

Moment d'une force

Le moment en O d'une force appliquée en A vaut M_O(F) = OA × F, produit vectoriel. Il mesure l'aptitude de la force à faire tourner le solide autour de O.

Isolement d'un solide

Étape de la statique où l'on isole un solide, puis on effectue le bilan de toutes les actions mécaniques extérieures avant d'appliquer le PFS.

Contraction de texte

Réécriture fidèle d'un texte en réduisant son volume d'un quart environ, en conservant thèse, idées principales et ordre logique, sans commentaire personnel.

Note de synthèse

Exposé organisé de plusieurs documents selon un plan thématique, sans prise de position personnelle ; les sources sont citées et les idées reformulées, jamais copiées.

Convaincre et persuader

Convaincre s'adresse à la raison par des arguments et des preuves ; persuader s'adresse aux émotions par le ton, les images et la sensibilité du destinataire.

Argument d'autorité

Argument qui s'appuie sur la parole d'une personne reconnue (expert, auteur, institution) pour justifier une thèse, sans démonstration rationnelle autonome.

Litote

Figure de style qui atténue l'expression pour suggérer davantage, comme dire « ce n'est pas mal » pour « c'est très bien ». Elle produit souvent l'ironie.

Accord du participe passé avec avoir

Avec l'auxiliaire avoir, le participe passé s'accorde en genre et en nombre avec le complément d'objet direct placé avant le verbe ; sinon il reste invariable.

Registre pathétique

Registre qui vise à émouvoir et à susciter la compassion du lecteur en représentant la souffrance, la misère ou l'impuissance d'un personnage.