Concours INP-HB CPGE cheat sheet

Théorème des accroissements finis : si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que f(b) − f(a) = f′(c)(b − a) ; corollaire : f′ ≥ 0 implique f croissante.

Développements limités usuels en 0 : e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²) ; ln(1+x) = x − x²/2 + o(x²) ; sin x = x − x³/6 + o(x³) ; cos x = 1 − x²/2 + o(x²) ; (1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)x²/2 + o(x²).

Intégration par parties : ∫ₐᵇ u′v = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ uv′ ; choisir u′ facile à intégrer et v dont la dérivée simplifie l'intégrale.

Équations différentielles linéaires : y′ + ay = b a pour solutions y = Ce^(−ax) + b/a ; y″ + ω²y = 0 a pour solutions y = A cos(ωx) + B sin(ωx).

Convergence des séries : la série de Riemann ∑ 1/n^α converge si et seulement si α > 1 ; la série géométrique ∑ q^n converge si et seulement si |q| < 1, de somme 1/(1−q).

Formule du binôme : (a+b)^n = ∑_{k=0}^{n} C(n,k) a^k b^(n−k) ; C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) et C(n,k) = C(n,n−k).

Probabilités : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ; si A et B indépendants, P(A∩B) = P(A)P(B) ; formule des probabilités totales avec une partition (B_i) : P(A) = ∑ P(A|B_i)P(B_i).

Loi binomiale B(n,p) : P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), E(X) = np, V(X) = np(1−p) ; loi normale centrée réduite : P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) ≈ 0,95.

Diagonalisation : une matrice carrée d'ordre n est diagonalisable si elle possède n valeurs propres distinctes ; le polynôme caractéristique est det(A − λI).

Cinématique : dans un mouvement uniformément accéléré, v = v₀ + at et x = x₀ + v₀t + ½at² ; l'accélération normale vaut v²/R sur une trajectoire de rayon de courbure R.

Dynamique : ∑F = ma dans un référentiel galiléen ; énergie mécanique E_m = ½mv² + E_p conservée si seules les forces conservatives travaillent.

Circuits : loi des mailles ∑U = 0 et loi des nœuds ∑I = 0 ; dipôle RC : constante de temps τ = RC, charge q(t) = Q(1 − e^(−t/τ)).

Dipôle RL : τ = L/R, i(t) = I(1 − e^(−t/τ)) à la fermeture ; en régime sinusoïdal, impédance complexe Z = R + jLω + 1/(jCω).

Résonance d'un circuit RLC série : fréquence propre f₀ = 1/(2π√(LC)) ; facteur de qualité Q = (1/R)√(L/C).

Optique géométrique : loi de Snell-Descartes n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂ ; miroir plan : image symétrique du point objet par rapport au plan du miroir.

Chimie des solutions : pH = −log[H₃O⁺] ; pour un acide fort de concentration C, pH = −log C ; pour un acide faible, pH ≈ ½(pKa − log C).

Équilibre acido-basique : Ka = [H₃O⁺][A⁻]/[HA] et pKa = −log Ka ; à la demi-équivalence d'un titrage, pH = pKa du couple.

Oxydoréduction : n(e⁻) échangés ; à l'équivalence d'un titrage redox, n₁C₁V₁/ν₁ = n₂C₂V₂/ν₂ où ν désigne le nombre d'électrons par entité.

Cinétique chimique : loi de vitesse v = k[A]^α[B]^β ; ordre global = α + β ; temps de demi-réaction d'ordre 1 : t₁/₂ = ln2/k.

Chaîne d'énergie : alimenter → distribuer → convertir → transmettre → agir ; chaîne d'information : acquérir → traiter → communiquer.

Transmission de puissance : rapport de réduction r = ω_sortie/ω_entrée = Z_menante/Z_menée pour un engrenage ; rendement η = P_utile/P_absorbée < 1.

Statique : principe fondamental PFS - la somme des forces et la somme des moments en un point sont nulles à l'équilibre ; isolement d'un solide puis bilan des actions mécaniques.

Moment d'une force : M_O(F) = OA × F ; couple moteur C = P/ω si P est la puissance et ω la vitesse angulaire en rad/s.

Asservissement : erreur ε = consigne − mesure ; un correcteur proportionnel-intégral (PI) annule l'erreur statique ; le gain élevé peut déstabiliser (marge de phase).

Fonction de transfert du premier ordre : H(p) = K/(1 + τp) ; réponse indicielle exponentielle de constante de temps τ, temps de réponse à 5 % ≈ 3τ.

Logique combinatoire : table de vérité, Karnaugh ; théorèmes de De Morgan : NON(A ET B) = NON A OU NON B ; OU exclusif : S = A⊕B = A·B̄ + Ā·B.

Capteurs et actionneurs : codeur incrémental délivre des impulsions proportionnelles au déplacement angulaire ; résolution = 360°/nombre de points par tour.

Résistance des matériaux : contrainte σ = F/S en Pa ; loi de Hooke σ = Eε ; condition de résistance σ ≤ σ_limite / coefficient de sécurité.

Synthèse de documents : reformuler sans copier, organiser selon un plan thématique (et non document par document), citer les sources entre parenthèses, viser 20 % de réduction par rapport au total.

Contraction de texte : conserver la thèse, les idées principales et l'ordre logique de l'auteur ; respecter la limite de mots avec une tolérance de ±10 %.

Dissertation : introduction (accroche, problématique, annonce du plan), développement en deux ou trois parties avec transitions, conclusion qui répond à la problématique.

Types d'arguments : argument d'autorité, argument par l'exemple, argument par analogie, argument ad hominem (à éviter) ; distinguer convaincre (raison) et persuader (émotion).

Figures de style fréquentes : métaphore, métonymie, hyperbole, litote, anaphore, chiasme, antithèse ; identifier leur effet argumentatif, pas seulement leur nom.

Connecteurs logiques : cause (car, en effet), conséquence (donc, par conséquent), concession (cependant, néanmoins), illustration (ainsi, par exemple) - ils structurent le raisonnement.

Accord du participe passé avec avoir : s'accorde avec le COD placé avant le verbe ; sans COD antéposé, il reste invariable.

Registres littéraires : lyrique, épique, comique, tragique, pathétique, didactique, satirique ; le registre se déduit des procédés et du ton du texte.

Culture générale : savoir situer une œuvre, un auteur et un courant (Lumières, romantisme, réalisme, surréalisme) et relier un document d'actualité à une notion (progrès, liberté, mémoire).