Contrôle de remplissage : test unilatéral et risque de sous-remplissage
Une cimenterie remplit des sacs de 50,0 kg. Le cahier des charges interne exige une masse moyenne au moins égale à 50,0 kg et une proportion de sacs sous 48,5 kg inférieure à 4 %. La remplisseuse est réglée sur μ = 50,0 kg avec σ = 0,8 kg. Un contrôleur prélève 25 sacs au hasard en fin de journée : la moyenne observée est 49,6 kg et l'écart-type de l'échantillon vaut 0,8 kg. Il conclut que la machine est déréglée et veut l'arrêter. Le chef de production objecte que l'échantillon est petit et que 0,4 kg ne représente que 0,5 σ. Le contrôleur applique un test unilatéral au seuil de 5 %. On suppose que la masse suit une loi normale et que σ est connu. Un arrêt injustifié coûte 1,2 million FCFA ; un sac non conforme livré coûte 3 000 FCFA. Le contrôleur doit justifier sa décision devant la direction.
1. Formuler H0 et H1, calculer la statistique de test et la p-value approximative. Que décide-t-on au seuil de 5 % ?
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H0 : μ = 50,0 kg (ou μ ≥ 50) ; H1 : μ < 50,0 kg. Sous H0, X̄ suit N(50 ; σ/√n) avec σ/√n = 0,8/5 = 0,16 kg. z = (49,6 − 50,0)/0,16 = −2,5. p = P(Z < −2,5) ≈ 0,0062. Comme 0,0062 < 0,05, on rejette H0 au seuil 5 %. La baisse est statistiquement significative ; l'arrêt se justifie, mais il faut vérifier les hypothèses (échantillon aléatoire, σ connu, normalité).
2. Le chef affirme que l'écart n'est que de 0,5 σ et donc négligeable. Critiquer cet argument en revenant sur l'erreur type et sur la différence entre variabilité individuelle et incertitude sur la moyenne.
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L'argument confond variabilité individuelle et incertitude sur la moyenne. Un écart de 0,4 kg représente 0,5σ pour un sac isolé, mais 2,5 erreurs types pour la moyenne de 25 sacs. C'est cette seconde échelle qui gouverne le test. De plus, un écart physiquement petit peut être économiquement important si le seuil de conformité est proche. Il faut donc comparer 0,4 kg à σ/√n = 0,16 kg, pas à σ = 0,8 kg.
3. Calculer, sous l'hypothèse μ = 49,6 kg et σ = 0,8 kg, la proportion de sacs sous 48,5 kg. Cette proportion respecte-t-elle le cahier des charges ? Comment interpréter avec la décision précédente ?
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Sous μ = 49,6 et σ = 0,8 : z = (48,5 − 49,6)/0,8 = −1,375 ; Φ(−1,375) ≈ 0,085, soit 8,5 % de sacs sous 48,5 kg. C'est au-dessus de la limite de 4 %. Sous μ = 50,0 : z = −1,875 ; Φ ≈ 0,030, soit 3,0 %, conforme. Le résultat observé suggère donc un risque de non-conformité. Attention : 8,5 % est une estimation ponctuelle qui ignore l'incertitude sur μ ; elle ne prouve pas à elle seule que la proportion réelle dépasse 4 %, mais elle renforce la décision d'arrêt et de réglage.