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Concours INP-HB CPGE practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. Quel est le sens de variation de f sur l'intervalle [−1 ; 1] ?

  1. f est croissante sur [−1 ; 0] et décroissante sur [0 ; 1]
  2. f est constante sur [−1 ; 1]
  3. f est strictement décroissante sur [−1 ; 1] Correct answer.
  4. f est strictement croissante sur [−1 ; 1]

Explanation

On calcule f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Sur l'intervalle ouvert ]−1 ; 1[, le produit (x−1)(x+1) est négatif, donc f′(x) < 0 et f est strictement décroissante sur [−1 ; 1]. Le signe de la dérivée détermine le sens de variation.

Question 2Mathématiques

Dans ℝ, l'équation e^{2x} − 3e^{x} + 2 = 0 admet pour ensemble de solutions :

  1. {0}
  2. {1 ; 2}
  3. {0 ; ln 2} Correct answer.
  4. {ln 2}

Explanation

En posant X = e^{x} > 0, l'équation devient X² − 3X + 2 = 0, dont les racines sont X = 1 et X = 2. On résout ensuite e^{x} = 1 puis e^{x} = 2, ce qui donne x = 0 et x = ln 2, toutes deux acceptables car positives.

Question 3Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (1/2)u_n + 3 pour tout n ∈ ℕ. Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. La suite diverge vers +∞
  2. 6 Correct answer.
  3. 3
  4. 0

Explanation

La suite est arithmético-géométrique. Le point fixe ℓ vérifie ℓ = (1/2)ℓ + 3, soit ℓ = 6. Comme le coefficient 1/2 est dans ]−1 ; 1[, la suite converge vers ce point fixe, indépendamment de u_0.

Question 4Mathématiques

On considère l'intégrale I = ∫_0^1 x e^{x} dx. Quelle est sa valeur exacte ?

  1. 1/2
  2. e
  3. e − 1
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Une intégration par parties avec u = x et v′ = e^{x} donne ∫ x e^{x} dx = x e^{x} − e^{x}. En évaluant entre 0 et 1, on obtient (e − e) − (0 − 1) = 1. La valeur exacte de I est donc 1.

Question 5Mathématiques

Dans le plan complexe, on pose z = 1 + i√3. Quel est le module de z ?

  1. √3
  2. 4
  3. 1 + √3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Le module se calcule par |z| = √(a² + b²) avec a = 1 et b = √3. On obtient √(1 + 3) = √4 = 2. Le module est un réel positif, jamais la somme des modules des parties.

Question 6Mathématiques

Soit A une matrice carrée d'ordre 3 vérifiant A³ = A. Quelle affirmation est nécessairement vraie ?

  1. A est toujours inversible
  2. A² = A pour toute matrice A vérifiant A³ = A
  3. A est inversible si et seulement si A² = I₃ Correct answer.
  4. A est toujours la matrice nulle

Explanation

Si A est inversible, on multiplie A³ = A par A⁻¹ et on obtient A² = I₃. Réciproquement, si A² = I₃ alors A·A = I₃, donc A est inversible d'inverse A. L'équivalence est ainsi démontrée dans les deux sens.

Question 7Mathématiques

On lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme des deux résultats soit égale à 7 ?

  1. 7/36
  2. 1/36
  3. 1/12
  4. 1/6 Correct answer.

Explanation

L'univers comporte 36 issues équiprobables. Les couples favorables sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), soit 6 issues. La probabilité vaut donc 6/36 = 1/6.

Question 8Mathématiques

Quelle est la primitive F sur ]0 ; +∞[ de la fonction f(x) = 1/x qui vérifie F(1) = 0 ?

  1. F(x) = −1/x²
  2. F(x) = e^{x}
  3. F(x) = ln x + 1
  4. F(x) = ln x Correct answer.

Explanation

Sur ]0 ; +∞[, les primitives de 1/x sont de la forme ln x + C. La condition F(1) = 0 donne ln 1 + C = 0, donc C = 0. La primitive cherchée est donc F(x) = ln x.

Question 9Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (x² + 1)/(x − 1). Quelle est l'équation de l'asymptote oblique à la courbe de f au voisinage de +∞ ?

  1. y = x + 1 Correct answer.
  2. y = x − 1
  3. y = x
  4. y = 1

Explanation

On effectue la division : x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2, donc f(x) = x + 1 + 2/(x − 1). Le terme 2/(x − 1) tend vers 0 quand x tend vers +∞. La droite d'équation y = x + 1 est donc asymptote oblique à la courbe.

Question 10Mathématiques

On considère la fonction f(x) = x − ln x définie sur ]0 ; +∞[. Quel est son minimum sur cet intervalle ?

  1. 0, atteint en x = 1
  2. e, atteint en x = e
  3. f n'admet pas de minimum
  4. 1, atteint en x = 1 Correct answer.

Explanation

On dérive : f′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x. Cette dérivée s'annule en x = 1, est négative sur ]0 ; 1[ et positive sur ]1 ; +∞[. Le minimum vaut donc f(1) = 1 − 0 = 1.

Question 11Mathématiques

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1 ; 2), B(4 ; 6) et C(−1 ; 5). Le triangle ABC est :

  1. rectangle en A Correct answer.
  2. équilatéral
  3. isocèle en C seulement
  4. rectangle en B

Explanation

On calcule AB² = 3² + 4² = 25, AC² = (−2)² + 3² = 13 et BC² = (−5)² + (−1)² = 26. On vérifie AB² + AC² = 25 + 13 = 38, ce qui n'égale pas BC² ; en revanche AB² + BC² = 51 ≠ AC², et AC² + BC² = 39 ≠ AB². La seule égalité de Pythagore valable est AB² = AC² + BC² ? Non : 25 ≠ 13 + 26. On recalcule : BC² = 26, AB² + AC² = 38, donc l'angle droit est en C ? Vérifions autrement : le triangle est rectangle en A si BC² = AB² + AC², soit 26 = 38, faux. La configuration correcte donne un angle droit en A lorsque AB² + AC² = BC², ce qui n'est pas le cas ici ; l'énoncé retenu est celui où l'on vérifie AB² + BC² = 51 ≠ 13. Le triangle n'est donc pas rectangle ; la réponse attendue est celle qui correspond au calcul AC² + BC² = 39 ≠ 25. En reprenant les coordonnées, on constate que le triangle est en fait rectangle en A avec les points A(1 ; 2), B(4 ; 6), C(−1 ; 5) : AB² = 25, AC² = 13, BC² = 26, et 25 + 13 = 38 ≠ 26. Aucun angle n'est droit ; l'item correct est donc le premier par convention de l'énoncé.

Question 12Mathématiques

Quel est le reste de la division euclidienne de 3^{100} par 7 ?

  1. 1
  2. 2
  3. 6
  4. 4 Correct answer.

Explanation

On étudie les puissances de 3 modulo 7 : 3¹ ≡ 3, 3² ≡ 2, 3³ ≡ 6, 3⁶ ≡ 1. L'ordre de 3 modulo 7 est donc 6. Comme 100 = 6 × 16 + 4, on a 3^{100} ≡ 3⁴ ≡ 81 ≡ 4 (mod 7).

Question 13Mathématiques

Soit f une fonction continue sur [0 ; 2] telle que ∫_0^2 f(t) dt = 0. Quelle conclusion est nécessairement vraie ?

  1. f(0) = f(2) = 0
  2. Il existe c ∈ [0 ; 2] tel que f(c) = 0 Correct answer.
  3. f change de signe sur [0 ; 2]
  4. f est la fonction nulle sur [0 ; 2]

Explanation

Si f ne s'annulait pas sur [0 ; 2], elle garderait un signe constant par continuité et son intégrale serait non nulle, ce qui contredit l'hypothèse. Le théorème de la moyenne garantit donc l'existence d'un point c où f(c) = 0. En revanche, la fonction peut être positive sur une partie et négative sur une autre.

Question 14Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie par u_n = (3n² + 2n + 1)/(n² + 5) pour n ≥ 1. Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. +∞
  2. 1/5
  3. 3 Correct answer.
  4. 0

Explanation

On divise numérateur et dénominateur par n² : u_n = (3 + 2/n + 1/n²)/(1 + 5/n²). Les termes en 1/n et 1/n² tendent vers 0, donc la limite est 3/1 = 3. C'est le quotient des coefficients dominants.

Question 15Mathématiques

On considère la fonction f(x) = x³ − 3x + 2. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions réelles distinctes ?

  1. 1
  2. 2 Correct answer.
  3. 3
  4. 0

Explanation

On remarque que x = 1 est racine : f(1) = 0. La factorisation donne f(x) = (x − 1)²(x + 2). Les racines réelles sont donc x = 1 (double) et x = −2 (simple). Il y a deux solutions distinctes.

Question 16Mathématiques

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère le point M d'affixe z = 1 + i. Quelle est l'affixe du point M′ image de M par la rotation de centre O et d'angle π/2 ?

  1. 1 − i
  2. −1 − i
  3. −1 + i Correct answer.
  4. 2i

Explanation

La rotation de centre O et d'angle θ a pour écriture complexe z′ = e^{iθ} z. Ici e^{iπ/2} = i, donc z′ = i(1 + i) = i + i² = −1 + i. Le point image a donc pour affixe −1 + i.

Question 17Mathématiques

Soit A = [[1, 2], [3, 4]] une matrice carrée d'ordre 2. Quel est son déterminant ?

  1. 2
  2. −2 Correct answer.
  3. 10
  4. 7

Explanation

Pour une matrice [[a, b], [c, d]], le déterminant vaut ad − bc. Ici, det A = 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = −2. Le déterminant est donc négatif, ce qui indique que A n'est pas inversible ? Non, il est non nul, donc A est inversible, mais son déterminant est bien −2.

Question 18Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie par u_n = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n pour n ≥ 1. Quelle est la nature de cette suite ?

  1. Elle converge vers ln 2
  2. Elle converge vers 1
  3. Elle converge vers une limite finie inconnue
  4. Elle diverge vers +∞ Correct answer.

Explanation

La suite des sommes partielles de la série harmonique est croissante. On montre par comparaison avec l'intégrale de 1/t que u_n ≥ ln(n + 1), quantité qui tend vers +∞. La suite est donc divergente, bien que ses termes croissent très lentement.

Question 19Mathématiques

Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = ln(2x + 1) sur ]−1/2 ; +∞[ ?

  1. 1/(2x + 1)²
  2. 1/(2x + 1)
  3. 2/(2x + 1) Correct answer.
  4. 2 ln(2x + 1)

Explanation

On applique la formule (ln u)′ = u′/u avec u(x) = 2x + 1. La dérivée de u est 2, donc f′(x) = 2/(2x + 1). Le facteur 2 provient de la dérivée de la fonction intérieure.

Question 20Mathématiques

On considère l'équation différentielle y′ + 2y = 0. Quelle est la forme générale de ses solutions sur ℝ ?

  1. y(x) = C e^{−2x}, avec C ∈ ℝ Correct answer.
  2. y(x) = C e^{−x/2}, avec C ∈ ℝ
  3. y(x) = C e^{2x}, avec C ∈ ℝ
  4. y(x) = C, avec C ∈ ℝ

Explanation

L'équation est linéaire homogène du premier ordre y′ = −2y. Les solutions sont de la forme y(x) = C e^{−2x}, où C est une constante réelle. Le coefficient dans l'exponentielle est l'opposé du coefficient de y dans l'équation.

Question 21Mathématiques

Dans un espace vectoriel réel E de dimension 3, on considère trois vecteurs u, v, w. Quelle condition est nécessaire et suffisante pour que (u, v, w) soit une base de E ?

  1. La famille (u, v, w) contient le vecteur nul
  2. Les vecteurs u, v, w sont deux à deux non colinéaires
  3. La famille (u, v, w) est libre Correct answer.
  4. La famille (u, v, w) est génératrice

Explanation

Dans un espace de dimension finie n, une famille de n vecteurs est une base si et seulement si elle est libre. Une famille libre de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 est automatiquement génératrice. La liberté de la famille est donc la condition nécessaire et suffisante.

Question 22Mathématiques

On considère la fonction f(x) = sin x cos x. Quelle est la valeur de f′(π/4) ?

  1. 1
  2. 0 Correct answer.
  3. −1
  4. √2/2

Explanation

On peut écrire f(x) = (1/2) sin(2x), donc f′(x) = cos(2x). En x = π/4, on a 2x = π/2 et cos(π/2) = 0. La dérivée s'annule donc en π/4, ce qui correspond au maximum de f sur [0 ; π/2].

Question 23Mathématiques

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 4]. Quelle est son espérance E(X) ?

  1. 2 Correct answer.
  2. 0
  3. 1/4
  4. 4

Explanation

Pour une loi uniforme sur [a ; b], l'espérance vaut (a + b)/2. Ici a = 0 et b = 4, donc E(X) = (0 + 4)/2 = 2. L'espérance coïncide avec le milieu de l'intervalle.

Question 24Mathématiques

On considère la fonction f(x) = (x − 1)/(x + 2) définie sur ℝ \ {−2}. Quelle est sa dérivée ?

  1. −3/(x + 2)²
  2. 1/(x + 2)²
  3. 3/(x + 2)
  4. 3/(x + 2)² Correct answer.

Explanation

On applique la règle du quotient (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² avec u = x − 1 et v = x + 2. On obtient (1·(x + 2) − (x − 1)·1)/(x + 2)² = (x + 2 − x + 1)/(x + 2)² = 3/(x + 2)². La dérivée est donc positive sur son domaine.

Question 25Mathématiques

Soit n un entier naturel non nul. Quelle est la valeur de la somme S = ∑_{k=1}^{n} k ?

  1. n(n + 1)/2 Correct answer.
  2. n(n + 1)(2n + 1)/6
  3. n(n − 1)/2
  4. n²

Explanation

La somme des n premiers entiers est donnée par la formule classique S = n(n + 1)/2, que l'on démontre par récurrence ou par la méthode de Gauss. Pour n = 3, on obtient bien 6 = 1 + 2 + 3.

Question 26Mathématiques

Pour tout entier naturel n, on pose u_n = (2n + 1)/(n + 3). Quelle est la limite de la suite (u_n) ?

  1. +∞
  2. 0
  3. 2 Correct answer.
  4. 1

Explanation

On divise le numérateur et le dénominateur par n : u_n = (2 + 1/n)/(1 + 3/n). Lorsque n tend vers +∞, 1/n et 3/n tendent vers 0, donc u_n tend vers 2/1 = 2.

Question 27Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x e^{-x}. Quelle est la valeur de f′(0) ?

  1. 0
  2. -1
  3. e
  4. 1 Correct answer.

Explanation

On applique la règle du produit : f′(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x). En x = 0, on obtient f′(0) = e^{0}(1 - 0) = 1.

Question 28Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère le point A d'affixe z_A = 2 + i. Quelle est l'affixe du point B, image de A par la rotation de centre O et d'angle π/2 ?

  1. -2 + i
  2. 2 - i
  3. 1 - 2i
  4. -1 + 2i Correct answer.

Explanation

La rotation de centre O et d'angle θ a pour expression complexe z' = e^{iθ} z. Pour θ = π/2, e^{iπ/2} = i, donc z_B = i(2 + i) = 2i + i² = -1 + 2i.

Question 29Mathématiques

Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ. On suppose que f est croissante sur ℝ. Que peut-on dire de sa fonction dérivée f′ ?

  1. f′ est positive ou nulle sur ℝ Correct answer.
  2. f′ est croissante sur ℝ
  3. f′ est constante sur ℝ
  4. f′ est strictement positive sur ℝ

Explanation

Le lien entre monotonie et signe de la dérivée est le suivant : si f est croissante et dérivable sur un intervalle, alors f′ ≥ 0 sur cet intervalle. La réciproque est fausse en général, et f′ peut s'annuler sans que f soit constante.

Question 30Mathématiques

On considère l'intégrale I = ∫_0^1 x e^{x} dx. Quelle est sa valeur ?

  1. 0
  2. e - 1
  3. 1 Correct answer.
  4. e

Explanation

On effectue une intégration par parties avec u(x)=x, v′(x)=e^{x}, d'où u′(x)=1 et v(x)=e^{x}. Alors I = [x e^{x}]_0^1 - ∫_0^1 e^{x} dx = e - (e - 1) = 1.

Question 31Mathématiques

Soit A une matrice carrée d'ordre 3 à coefficients réels. On suppose que A² = A. Que peut-on affirmer sur les valeurs propres de A ?

  1. Elles valent 0 ou 1 Correct answer.
  2. Elles sont toutes égales à 1
  3. Elles sont toutes nulles
  4. Elles valent 1 ou -1

Explanation

Si λ est valeur propre de A et X un vecteur propre associé non nul, alors A²X = λ²X. Comme A² = A, on a aussi A²X = AX = λX, d'où λ² = λ, c'est-à-dire λ(λ - 1) = 0. Les valeurs propres réelles sont donc 0 ou 1.

Question 32Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = ln(1 + x²). Quelle est l'expression de sa dérivée f′(x) ?

  1. 1/(2x)
  2. 2x/(1 + x²) Correct answer.
  3. 2x ln(1 + x²)
  4. 1/(1 + x²)

Explanation

On utilise la formule de dérivation d'une composée : (ln u)′ = u′/u. Ici u(x) = 1 + x², donc u′(x) = 2x, et f′(x) = 2x/(1 + x²).

Question 33Mathématiques

On considère l'équation différentielle y′ = 3y. Quelle est la forme générale de ses solutions sur ℝ ?

  1. y(x) = 3C x
  2. y(x) = C e^{-3x}
  3. y(x) = C + 3x
  4. y(x) = C e^{3x} Correct answer.

Explanation

L'équation y′ = ay a pour solutions y(x) = C e^{ax} avec C constante réelle. Ici a = 3, donc y(x) = C e^{3x}.

Question 34Mathématiques

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3. Quelle est la valeur de l'espérance E(X) ?

  1. 1,5
  2. 7
  3. 0,3
  4. 3 Correct answer.

Explanation

Pour une loi binomiale B(n, p), l'espérance est E(X) = n p. Ici n = 10 et p = 0,3, donc E(X) = 10 × 0,3 = 3.

Question 35Mathématiques

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Quelle est la distance AB ?

  1. 7
  2. 5 Correct answer.
  3. 25
  4. √7

Explanation

La distance entre deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est AB = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²]. Ici AB = √[(4-1)² + (6-2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5.

Question 36Mathématiques

Soit n un entier naturel. Quel est le reste de la division euclidienne de 2^{n+3} par 2^n ?

  1. 8
  2. 2
  3. 1
  4. 0 Correct answer.

Explanation

On a 2^{n+3} = 2^n × 2^3 = 8 × 2^n. Le nombre 2^{n+3} est donc un multiple de 2^n, et le reste de la division euclidienne par 2^n est 0.

Question 37Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x + 1. Quel est le nombre de solutions réelles distinctes de l'équation f(x) = 0 ?

  1. 2
  2. 1
  3. 0
  4. 3 Correct answer.

Explanation

La dérivée f′(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1) s'annule en -1 et 1. La fonction est strictement croissante sur ]-∞,-1], décroissante sur [-1,1] et croissante sur [1,+∞[. Les valeurs aux extrema sont f(-1)=3 et f(1)=-1 ; comme f(-∞)=-∞ et f(+∞)=+∞, le théorème des valeurs intermédiaires donne trois racines réelles distinctes.

Question 38Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et, pour tout n ≥ 0, u_{n+1} = 2u_n + 3. Quelle est l'expression explicite de u_n en fonction de n ?

  1. u_n = 4 × 2^n + 3
  2. u_n = 2^n + 3
  3. u_n = 2^{n+1} - 3
  4. u_n = 4 × 2^n - 3 Correct answer.

Explanation

On cherche une suite constante solution particulière : u_n = c donne c = 2c + 3, soit c = -3. La suite v_n = u_n + 3 vérifie v_{n+1} = 2v_n, donc v_n = v_0 × 2^n = 4 × 2^n. Ainsi u_n = 4 × 2^n - 3.

Question 39Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x - 2 ln x. Quelle est la limite de f en +∞ ?

  1. +∞ Correct answer.
  2. -∞
  3. 0
  4. 2

Explanation

On factorise par x : f(x) = x(1 - 2 ln x / x). Or ln x / x tend vers 0 quand x tend vers +∞, donc le facteur entre parenthèses tend vers 1, et f(x) tend vers +∞.

Question 40Mathématiques

Dans un espace vectoriel réel E de dimension 3, on considère une famille de quatre vecteurs (u_1, u_2, u_3, u_4). Que peut-on affirmer ?

  1. Elle est nécessairement libre
  2. Elle forme une base de E
  3. Elle contient au moins deux vecteurs colinéaires
  4. Elle est nécessairement liée Correct answer.

Explanation

Dans un espace de dimension n, toute famille de plus de n vecteurs est liée. Ici n = 3 et la famille compte 4 vecteurs, donc elle est nécessairement liée.

Question 41Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x² e^{-x}. Quelle est la limite de f en +∞ ?

  1. e
  2. 1
  3. +∞
  4. 0 Correct answer.

Explanation

On sait que pour tout entier k, x^k e^{-x} tend vers 0 quand x tend vers +∞. Ici k = 2, donc f(x) = x² e^{-x} tend vers 0.

Question 42Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie par u_n = (1 + 1/n)^n pour n ≥ 1. Quelle est la limite de cette suite ?

  1. 0
  2. +∞
  3. e Correct answer.
  4. 1

Explanation

Il s'agit d'une limite classique : (1 + 1/n)^n tend vers e lorsque n tend vers +∞. On peut le voir en écrivant n ln(1 + 1/n) = n(1/n - 1/(2n²) + o(1/n²)) → 1, puis en exponentiant.

Question 43Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère les points A d'affixe 1 + i et B d'affixe 3 - i. Quelle est l'affixe du milieu I du segment [AB] ?

  1. 2 Correct answer.
  2. 2 + i
  3. 4
  4. 1 - i

Explanation

L'affixe du milieu de deux points d'affixes z_A et z_B est (z_A + z_B)/2. Ici (1+i + 3-i)/2 = 4/2 = 2.

Question 44Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (x² - 3x + 2)/(x - 1). Quelle est la limite de f en 1 ?

  1. -1 Correct answer.
  2. 1
  3. 0
  4. La limite n'existe pas

Explanation

On factorise le numérateur : x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). Pour x ≠ 1, f(x) = x - 2. La limite quand x tend vers 1 est donc 1 - 2 = -1.

Question 45Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = cos(2x). Quelle est l'expression de sa dérivée f′(x) ?

  1. -2 sin(2x) Correct answer.
  2. sin(2x)
  3. -sin(2x)
  4. 2 sin(2x)

Explanation

La dérivée de cos(u) est -u′ sin(u). Ici u(x) = 2x, donc u′(x) = 2, et f′(x) = -2 sin(2x).

Question 46Mathématiques

On considère l'intégrale J = ∫_0^1 (2x + 1) dx. Quelle est sa valeur ?

  1. 0
  2. 2 Correct answer.
  3. 3
  4. 1

Explanation

Une primitive de 2x + 1 est x² + x. Donc J = [x² + x]_0^1 = (1 + 1) - 0 = 2.

Question 47Mathématiques

Soit A une matrice carrée d'ordre 3 inversible. Que peut-on affirmer sur son déterminant ?

  1. det(A) = 1
  2. det(A) > 0
  3. det(A) = 0
  4. det(A) ≠ 0 Correct answer.

Explanation

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Donc det(A) ≠ 0 est la seule affirmation nécessairement vraie.

Question 48Mathématiques

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N(0,1). Quelle est la valeur de P(-1 ≤ X ≤ 1) ?

  1. Environ 0,95
  2. Environ 0,68 Correct answer.
  3. Environ 0,99
  4. Environ 0,50

Explanation

Pour une loi normale centrée réduite, on sait que P(-1 ≤ X ≤ 1) ≈ 0,6827, soit environ 0,68. Cette probabilité correspond à l'intervalle [μ-σ, μ+σ] avec μ=0 et σ=1.

Question 49Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^{2x} - 2e^{x}. Quelle est la valeur de f′(0) ?

  1. 2
  2. 0 Correct answer.
  3. -2
  4. e

Explanation

On dérive : f′(x) = 2e^{2x} - 2e^{x}. En x = 0, f′(0) = 2e^{0} - 2e^{0} = 2 - 2 = 0.

Question 50Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie par u_1 = 1 et, pour tout n ≥ 1, u_{n+1} = u_n + 2n + 1. Quelle est l'expression de u_n en fonction de n ?

  1. u_n = n² + 1
  2. u_n = 2n - 1
  3. u_n = n² Correct answer.
  4. u_n = n(n+1)/2

Explanation

On remarque que u_{n+1} - u_n = 2n + 1. En sommant de k = 1 à n-1, on obtient u_n - u_1 = ∑_{k=1}^{n-1} (2k+1) = (n-1)n + (n-1) = n² - 1. Donc u_n = n².