Mathématiques - analyse, algèbre et rédaction de la démonstration
L'épreuve de mathématiques du concours INP-HB (CPGE) vérifie la solidité du programme de Terminale scientifique, mais surtout la capacité à rédiger une démonstration : le correcteur cherche une justification à chaque affirmation, pas seulement un résultat. Le format habituel combine un problème d'analyse en plusieurs parties et un ou deux exercices indépendants (algèbre, probabilités, géométrie).
Le socle attendu
- Analyse : limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires (TVI), dérivabilité, fonctions réciproques, primitives, intégration par parties, suites (arithmétiques, géométriques, récurrentes du type u_{n+1} = f(u_n)), équations différentielles linéaires simples (y′ = ay + b, y″ + ω²y = 0).
- Algèbre et géométrie : nombres complexes (module, argument, forme exponentielle, racines n-ièmes), polynômes, probabilités conditionnelles, produit scalaire, barycentre.
- Raisonnement : récurrence, contraposée, disjonction de cas, encadrements.
Exemple rédigé
Montrer que l'équation x³ + x − 1 = 0 admet une unique solution α dans [0 ; 1], puis encadrer α à 10⁻² près.
- Soit f(x) = x³ + x − 1, dérivable sur ℝ donc continue sur [0 ; 1]. f′(x) = 3x² + 1 > 0 : f est strictement croissante.
- f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0. Le TVI donne l'existence ; la stricte monotonie donne l'unicité.
- f(0,68) = 0,314432 + 0,68 − 1 = −0,005568 < 0 et f(0,69) = 0,328509 + 0,69 − 1 = 0,018509 > 0, donc 0,68 < α < 0,69.
Pièges qui coûtent des points
- Citer le TVI sans avoir justifié la continuité, ni la stricte monotonie pour l'unicité.
- Dériver ou composer avec ln, √ ou un dénominateur sans avoir posé le domaine de définition.
- Confondre limite finie et valeur de la fonction, ou conclure à tort que f n'est pas définie là où il n'y a qu'une discontinuité.
- Travailler en degrés sur des fonctions trigonométriques que l'on dérive.
- Écrire un argument complexe sans le modulo 2π, ou oublier que |z|² = z·z̄.
- Dans une récurrence, ne pas vérifier l'initialisation et ne pas rédiger l'hérédité.