Mathématiques Série A - Un enclos adossé à un mur : contrainte oubliée et sommet hors domaine
Lycée de Bafoussam, devoir surveillé de mathématiques, série A, deux heures. Énoncé : « Un agriculteur dispose d'un mur existant de 25 m et de 80 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé au mur ; le grillage borde les trois autres côtés. On note x la longueur du côté parallèle au mur et y celle de chacun des deux côtés perpendiculaires. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ? » Copie de Marc : 2x + 2y = 80, donc x + y = 40, aire maximale pour x = y = 20, soit 400 m². Copie de Solange : x + 2y = 80, A(x) = x(80 − x)/2, sommet en x = 40, d'où y = 20 et A = 800 m². Le professeur attend 687,5 m². Les deux copies comportent une erreur, mais ce n'est pas la même. Chaque élève doit diagnostiquer l'erreur de l'autre avant de rédiger sa propre solution.
1. Identifiez l'erreur de Marc et celle de Solange. Laquelle est une erreur de mise en équation, laquelle est un oubli de contrainte ? Justifiez à partir du texte de l'énoncé.
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Marc traduit le problème comme si les quatre côtés étaient grillagés : 2x + 2y = 80. Or l'énoncé précise que l'enclos est « adossé au mur » et que « le grillage borde les trois autres côtés » : le mur remplace un côté, donc x + 2y = 80. C'est une erreur de mise en équation - une lecture fautive du dispositif, pas un erreur de calcul. Sa conclusion x = y = 20 donne un carré de 400 m² : c'est l'optimum du problème sans mur, pas celui du problème posé.
Solange pose la bonne équation, isole y = (80 − x)/2, écrit A(x) = x(80 − x)/2 et trouve le sommet en x = 40. Mais le mur ne mesure que 25 m : le côté adossé ne peut pas dépasser 25 m. Elle optimise sur ℝ (ou sur [0, 80]) au lieu de [0, 25]. Erreur de contrainte : le sommet de la parabole tombe hors du domaine admissible.
Conséquence : A(x) = −0,5x² + 40x a pour dérivée −x + 40, positive sur [0, 25] ; la fonction y est strictement croissante, donc le maximum admissible est atteint en x = 25. Alors y = (80 − 25)/2 = 27,5 et A = 25 × 27,5 = 687,5 m². Vérification : 25 + 2 × 27,5 = 80, et le mur de 25 m est entièrement utilisé.
2. Rédigez la solution complète attendue, puis montrez à partir de quelle longueur de mur la réponse 800 m² deviendrait réalisable.
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Solution rédigée. Soit x la longueur du côté parallèle au mur et y celle de chacun des deux côtés perpendiculaires, en mètres. Contraintes : x + 2y = 80, 0 ≤ x ≤ 25, y ≥ 0. Aire : A = xy = x(80 − x)/2 = −0,5x² + 40x. La fonction est un trinôme de coefficient −0,5 < 0 : croissante puis décroissante, de sommet x = −b/(2a) = 40. Sur [0, 25], elle est strictement croissante, donc le maximum est atteint en x = 25. D'où y = 27,5 et A = 687,5. Conclusion : l'aire maximale est 687,5 m², pour un côté de 25 m le long du mur et deux côtés de 27,5 m.
Seuil. Le raisonnement de Solange ne devient correct que si x = 40 est admissible, c'est-à-dire si le mur mesure au moins 40 m : alors y = 20 et A = 800 m². Plus généralement, pour un mur de longueur L ≤ 40, le maximum vaut L(80 − L)/2, fonction croissante de L ; pour L ≥ 40, il plafonne à 800 m². Une réponse « 800 m² » sans discussion de L est donc un hors-sujet déguisé en résultat : elle répond à un autre problème.
3. La copie de Solange conclut : « A = 800, les dimensions sont 40 et 20. » Critiquez cette conclusion (unité, domaine, rédaction, statut du résultat).
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- Unité : une aire s'exprime en m², pas en mètres. Écrire A = 800 sans unité est une faute de grandeur, sanctionnée même lorsque le calcul est juste.
- Domaine : la conclusion omet l'intervalle [0, 25] et ne signale pas que x = 40 viole la contrainte du mur. Un résultat n'est valide que sur le domaine où il a été établi ; sur un intervalle fermé, le maximum se cherche au sommet s'il appartient à l'intervalle, sinon aux bornes.
- Rédaction : « les dimensions sont 40 et 20 » ne dit ni quel côté longe le mur, ni que 40 + 2 × 20 = 80. Il faut nommer x et y, vérifier la contrainte, puis conclure par une phrase : l'enclos mesure 25 m le long du mur et 27,5 m dans l'autre sens, son aire est 687,5 m².
- Statut du résultat : la copie confond le maximum de la fonction et le maximum du problème. C'est la leçon de l'exercice : la modélisation impose des bornes, et ici c'est la borne qui commande la réponse.