Coopérative de Nkolbisson : compost ou plants greffés ?
La coopérative agricole de Nkolbisson fabrique deux produits : des sacs de compost (x) et des plants greffés (y). Chaque sac de compost demande 3 heures de travail et 2 kg de substrat ; chaque plant demande 2 heures et 4 kg. Le stock hebdomadaire est de 120 heures de travail, 160 kg de substrat et 55 emballages. Un contrat impose au moins 10 sacs de compost par semaine. Le compost se vend 2000 FCFA et le plant 3000 FCFA. Le trésorier propose de tout consacrer aux plants, car ils rapportent plus. La responsable veut au contraire accepter une commande supplémentaire de 10 plants à 1600 FCFA l'unité, offerte par un hôtel, en plus de la production optimale. Le conseil se réunit demain et doit décider.
1. Formuler le programme linéaire, déterminer le plan hebdomadaire optimal et calculer le profit. Le trésorier a-t-il raison de vouloir produire uniquement des plants ?
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Soit x le nombre de sacs de compost et y le nombre de plants. Contraintes : 3x + 2y ≤ 120 (travail), 2x + 4y ≤ 160 (substrat), x + y ≤ 55 (emballages), x ≥ 10, y ≥ 0. Profit : P = 2000x + 3000y. Les sommets réalisables utiles sont (10 ; 35), (20 ; 30) et éventuellement (10 ; 45), mais ce dernier viole le substrat : 2×10 + 4×45 = 200 > 160. En (10 ; 35) : P = 20 000 + 105 000 = 125 000 FCFA. En (20 ; 30) : travail 60 + 60 = 120, substrat 40 + 120 = 160, emballages 50 ≤ 55 ; P = 40 000 + 90 000 = 130 000 FCFA. Le plan optimal est donc 20 sacs de compost et 30 plants, avec 130 000 FCFA. Le trésorier a tort : produire uniquement des plants donnerait au mieux y = 40 avec x = 0, soit 120 000 FCFA, et violerait le contrat x ≥ 10. Le compost contribue à la combinaison optimale malgré un prix unitaire plus faible.
2. La commande de 10 plants supplémentaires à 1600 FCFA l'unité peut-elle être acceptée sans modifier les contraintes ? Sinon, que faudrait-il renégocier et quel serait l'effet sur le profit ?
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Au plan optimal, y = 30. Accepter la commande impose y ≥ 40. Avec x ≥ 10, le substrat exigerait 2×10 + 4×40 = 180 kg, soit 20 kg de plus que le stock de 160 kg. Le travail resterait suffisant : 3×10 + 2×40 = 110 ≤ 120, et les emballages aussi : 10 + 40 = 50 ≤ 55. La commande est donc irréalisable sans acheter au moins 20 kg de substrat ou sans réduire x sous 10, ce qui romprait le contrat. Si l'on achète 20 kg de substrat et que l'on produit (10 ; 40), le chiffre d'affaires devient 10×2000 + 30×3000 + 10×1600 = 126 000 FCFA, déjà inférieur aux 130 000 FCFA du plan optimal, avant même de payer le substrat supplémentaire. Il faut donc refuser la commande en l'état, ou renégocier soit le prix à au moins 3000 FCFA l'unité, soit le contrat sur le compost, soit le stock de substrat avec un coût clairement chiffré.