La feria de noveno: márgenes, costos fijos y descuentos sucesivos
El curso de noveno organiza una feria para recaudar fondos para el paseo de fin de año. El alquiler de la carpa cuesta $180.000 y el colegio cobra $20.000 por el consumo de energía; ambos pagos se hacen una sola vez, sin importar cuánto se venda. Cada porción de torta cuesta $2.500 en insumos y se vende a $4.000. Cada vaso de limonada cuesta $700 en insumos y se vende a $1.500. En la feria se vendieron 120 porciones de torta y 200 vasos de limonada; no sobró nada. Para la entrada, el curso fijó un precio de $8.000 y anunció dos descuentos sucesivos: primero un cupón del 15 % y, sobre el valor ya rebajado, un 10 % adicional para quienes llegaran en bicicleta.
En la reunión de cierre, Julián dice: «La limonada deja $800 por vaso y la torta $1.500; si queremos ganar más, el próximo año deberíamos vender solo torta». La profesora pide revisar la afirmación con los números de la feria antes de aceptarla.
1. ¿La feria cubrió sus costos? Calcula la utilidad total y explica qué costos son fijos y cuáles variables.
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Paso 1. Separar costos.
- Fijos (no cambian con las ventas): carpa $180.000 + energía $20.000 = $200.000.
- Variables (crecen con cada unidad vendida): insumos de torta $2.500 y de limonada $700.
Paso 2. Margen de contribución por unidad (precio menos costo variable):
- Torta: $4.000 − $2.500 = $1.500 → 120 × $1.500 = $180.000.
- Limonada: $1.500 − $700 = $800 → 200 × $800 = $160.000.
Paso 3. Resultado. Margen total = $340.000. Utilidad = $340.000 − $200.000 = $140.000.
Sí cubrió los costos, pero el margen de seguridad es limitado: los costos fijos equivalen a 200.000/340.000 ≈ 59 % del margen generado. Un error frecuente es restar los costos fijos de los ingresos brutos ($780.000) sin descontar antes los insumos; eso infla la ganancia. El cálculo correcto siempre es: ingresos − costos variables = margen; margen − costos fijos = utilidad.
2. Evalúa la afirmación de Julián: ¿se sigue de los datos que convenga vender solo torta?
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No se sigue. Julián compara márgenes unitarios y salta a una decisión sobre qué producir, y ese salto omite tres cosas:
- Aporte total. Con los datos de la feria, la torta aportó $180.000 y la limonada $160.000: la diferencia es de $20.000, no de una superioridad aplastante. El margen unitario mayor no se traduce automáticamente en más ganancia si el volumen vendible es distinto.
- Margen relativo. La limonada deja 800/1.500 ≈ 53 % del precio, frente a 1.500/4.000 = 37,5 % de la torta. Por cada peso invertido en insumos, la limonada devuelve más, y exige menos capital por unidad ($700 frente a $2.500).
- Datos ausentes. ¿Cuántas porciones pueden producirse con los hornos disponibles? ¿Se venderían 320 tortas? La torta no vendida se pierde; la limonada se ajusta con más facilidad. Además, los costos fijos no desaparecen si se elimina un producto.
El criterio correcto es: margen total esperado = margen unitario × unidades vendibles − costos fijos. Sin estimar unidades vendibles y capacidad de producción, la frase de Julián es una hipótesis, no una conclusión.
3. Un compañero sostiene que los dos descuentos de la entrada equivalen a un 25 % y que se puede anunciar así. ¿Es correcto? Muestra el cálculo y el efecto sobre la recaudación.
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No es correcto: los descuentos sucesivos no se suman porque el segundo se calcula sobre una base ya rebajada.
- Precio inicial: $8.000.
- Cupón del 15 %: 8.000 × 0,85 = $6.800.
- 10 % sobre $6.800: 6.800 × 0,90 = $6.120.
- Descuento total: 8.000 − 6.120 = $1.880 → 1.880/8.000 = 23,5 %.
Anunciarlo como 25 % no solo es impreciso: es publicidad engañosa, aunque la diferencia parezca pequeña.
Efecto monetario. Con un 25 % real la entrada costaría $6.000; con los descuentos sucesivos cuesta $6.120, es decir $120 más por persona. En 300 entradas son $36.000 de diferencia, justo el tipo de margen que la feria necesita.
Regla general: dos descuentos de a % y b % equivalen a 1 − (1−a)(1−b), no a (a+b). Lo mismo ocurre con los aumentos: dos incrementos del 10 % dan 21 %, no 20 %. Convivir con esta regla evita el error más común en preguntas de porcentajes encadenados.