La rifa de graduación: meta, premios y probabilidad
El comité de graduación de un colegio de Turrialba organiza una rifa para recaudar 260 000 colones netos. Imprime 500 boletos numerados, a 1 000 colones cada uno, con un costo de impresión de 30 colones por boleto. El premio mayor es una tablet de 150 000 colones que una empresa dona; los otros premios -dos de 40 000 y cinco de 8 000- los paga el comité. En rifas anteriores del mismo colegio se ha vendido el 76 % de los boletos. El sorteo se hace con tómbola: se extrae un boleto por premio y el boleto ganador se retira, de modo que ningún boleto recibe más de un premio. La junta directiva pide que la meta se cumpla aun si la venta se queda en el promedio histórico, y no acepta subir el precio del boleto.
1. ¿Cuántos boletos deben venderse para alcanzar los 260 000 netos? Considere que la tablet está donada.
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Primero se separan los costos que el comité sí paga:
- Premios en efectivo: 2 × 40 000 + 5 × 8 000 = 80 000 + 40 000 = 120 000.
- Impresión: 500 × 30 = 15 000 (se imprime el talonario completo, se venda o no).
- Total de costos: 135 000. La tablet no se cuenta como costo porque está donada.
Ingreso necesario: 260 000 + 135 000 = 395 000.
A 1 000 colones por boleto: 395 000 ÷ 1 000 = 395 boletos. Como 395 ≤ 500, la meta es alcanzable dentro del tiraje.
Verificación: 395 000 − 120 000 − 15 000 = 260 000. Exacto.
2. Con la proyección del 76 %, ¿se cumple la meta? Proponga un ajuste viable sin subir el precio.
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El 76 % de 500 son 380 boletos, que producen 380 000 colones.
Neto proyectado: 380 000 − 120 000 − 15 000 = 245 000. Faltan 15 000 colones para la meta.
Opciones:
- Vender 15 boletos más (395 en total, es decir, 79 % del tiraje): depende de un esfuerzo de venta que el historial no respalda.
- Reducir un premio de 40 000 a 25 000: los costos bajan a 120 000 y el neto con 380 boletos sube a 260 000, justo la meta.
- Conseguir patrocinio para uno de los premios de 40 000: mismo efecto, sin tocar el atractivo de la rifa.
Recomendación: intentar primero la opción 3, porque conserva los premios; si no aparece patrocinador, aplicar la opción 2 y comunicar la reducción antes de imprimir, no después, para no dañar la credibilidad del comité.
3. Si una persona compra 3 boletos, ¿cuál es la probabilidad de ganar al menos un premio y cuál es el valor esperado neto de su compra?
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Probabilidad. Hay 8 premios entre 500 boletos y el sorteo es sin reemplazo. Es más simple calcular la probabilidad de no ganar ninguno:
(492/500) × (491/499) × (490/498) = 0,984 × 0,9840 × 0,9839 ≈ 0,9527.
Por lo tanto, P(al menos un premio) = 1 − 0,9527 ≈ 0,047, es decir, 4,7 %. Comprar tres boletos no triplica la probabilidad de un solo boleto (1,6 %), porque los boletos no son independientes.
Valor esperado. Valor total de premios: 150 000 + 80 000 + 40 000 = 270 000. Por boleto: 270 000 ÷ 500 = 540 colones. Cada boleto cuesta 1 000, así que el valor esperado neto es 540 − 1 000 = −460 por boleto, y −1 380 por los tres.
Conclusión útil para el comité: la rifa es rentable para quien la organiza y desfavorable en términos esperados para el comprador; por eso el argumento de venta debe ser el apoyo a la graduación, no la expectativa de ganar.