Kerti kerítés maximalizálása folyóparttal
Egy téglalap alakú kertet kerítesz be. A kert egyik hosszabb oldala a folyóparton fut, ezért ott nem kell kerítés; a másik három oldalra kerül kerítés. Összesen 42 méter kerítésed van, de a kapu helyére 2 métert ki kell hagyni, így a ténylegesen beépíthető kerítés 40 méter. A folyóra merőleges oldalak hosszát x-szel jelöljük, ezekre a szomszéddal kötött megállapodás miatt 6 ≤ x ≤ 12. A folyóparti oldal hossza legfeljebb 20 méter lehet. A kert területének legalább 180 négyzetméternek kell lennie, mert a veteményeskert és a komposztáló együtt ennyit igényel. Szeretnéd a lehető legnagyobb területet elérni a megadott kerítésből, de úgy, hogy a kapu és az oldalarányok is megfeleljenek. A kerítésoszlopok távolsága nem számít, a kapu a folyóparti oldallal szemközti oldalon van, és a 2 métert ebből az oldalból kell levonni. Kérdés, hogy melyik oldalhosszak adnak maximális területet, és teljesül-e a 180 négyzetméteres minimum.
1. Írd fel az oldalhosszakra vonatkozó feltételeket és a terület képletét, majd számold ki a maximális területet.
Read the worked answer
Legyen x a folyóra merőleges oldal, y a folyóparti oldal. A kapu a folyóval szemközti y oldalon van, ezért a kerítés hossza 2x + (y - 2) = 40, ahonnan y = 42 - 2x. A szomszéd feltétele 6 ≤ x ≤ 12, a folyóparti oldalra y ≤ 20, azaz 42 - 2x ≤ 20, amiből x ≥ 11. A közös intervallum 11 ≤ x ≤ 12. A terület A(x)=x(42-2x)=42x-2x². Ez lefelé nyíló parabola, csúcsa x=42/4=10,5, ami kívül esik a megengedett intervallumon. A [11,12] intervallumon a függvény csökken, mert a csúcs 10,5-nél van. Ezért a maximum x=11-nél van: y=42-22=20, A=11·20=220 m². A 180 m²-es minimum teljesül, sőt 40 m² tartalék marad.
2. Ellenőrizd, hogy elérhető-e 230 m² terület a feltételek mellett. Ha nem, add meg a legközelebbi elérhető maximumot és az eltérést.
Read the worked answer
A maximum 220 m², ezért 230 m² nem érhető el. A legjobb megoldás x=11, y=20, A=220 m². Az eltérés 10 m². Ha valaki x=10,5-del próbálkozna, az y=42-21=21 m lenne, ami megsérti az y≤20 feltételt, és x=10,5 sem teljesíti az x≥11-et. A 230 m²-hez például x=11 mellett y=230/11≈20,91 m kellene, ami már a folyóparti oldal hosszára vonatkozó korlát miatt nem megengedett.