Scio NSZ Math flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Diskriminant kvadratické rovnice

Výraz D = b² − 4ac pro rovnici ax² + bx + c = 0. Je-li D kladný, existují dva různé reálné kořeny; je-li nulový, jeden dvojnásobný; je-li záporný, žádný reálný kořen.

Viètovy vztahy

Pro kořeny rovnice ax² + bx + c = 0 platí x₁ + x₂ = −b/a a x₁·x₂ = c/a. Umožňují sestavit rovnici z kořenů nebo ověřit výsledek bez dosazení.

Vrchol paraboly

Parabola y = ax² + bx + c má vrchol v bodě x = −b/(2a). Pro a > 0 je vrchol minimem, pro a < 0 maximem funkce.

Pravidlo pro mocniny

Pro stejný základ platí aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ a (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Zlomkový exponent a^(m/n) znamená n-tou odmocninu z aᵐ.

Vzorec pro logaritmus součinu

logₐ(x·y) = logₐx + logₐy. Logaritmus je definován jen pro kladný argument a základ a > 0, a ≠ 1; logaritmus podílu je rozdíl logaritmů.

Směrnice přímky

Směrnice k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) udává změnu y na jednotku x. Rovnoběžné přímky mají stejnou směrnici, kolmé přímky splňují k₁·k₂ = −1.

Pythagorova věta

V pravoúhlém trojúhelníku platí c² = a² + b², kde c je přepona ležící proti pravému úhlu. Používá se k výpočtu strany i k ověření pravoúhlosti.

Obsah kruhu

Obsah kruhu je S = πr² a obvod o = 2πr, kde r je poloměr. Průměr d = 2r, takže S lze psát také jako πd²/4.

Objem koule

Objem koule je V = 4πr³/3 a její povrch S = 4πr². Tyto vzorce se často kombinují s úlohami o válci nebo kuželu.

Aritmetická posloupnost

Každý další člen vzniká přičtením konstantní diference d: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Součet prvních n členů je sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

Geometrická posloupnost

Každý další člen vzniká násobením konstantním kvocientem q: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Součet prvních n členů je a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) pro q ≠ 1.

Kombinační číslo

Počet k-prvkových podmnožin z n prvků je C(n,k) = n!/(k!(n − k)!). Nezáleží na pořadí, na rozdíl od variací, kde pořadí rozhoduje.

Klasická pravděpodobnost

Pravděpodobnost jevu A je podíl počtu příznivých výsledků ku počtu všech stejně možných výsledků. Hodnota leží vždy mezi nulou a jedinou.

Vzdálenost dvou bodů

V rovině se vzdálenost bodů A[x₁, y₁] a B[x₂, y₂] počítá jako √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Vzniká aplikací Pythagorovy věty na rozdíly souřadnic.

Definiční obor funkce

Množina všech přípustných hodnot x. Vylučuje nuly ve jmenovateli, záporné argumenty sudých odmocnin a nekladné argumenty logaritmů.

Exponenciální funkce

Funkce y = aˣ s kladným základem a ≠ 1. Pro a > 1 roste, pro 0 < a < 1 klesá a graf vždy prochází bodem [0, 1].

Procentní změna

Zvýšení o p procent násobí původní hodnotu výrazem (1 + p/100), snížení výrazem (1 − p/100). Procento je setina základu.

Nepřímá úměrnost

Veličiny jsou nepřímo úměrné, když jejich součin je konstantní: x·y = k. Při zdvojnásobení jedné hodnoty se druhá zmenší na polovinu.

Přímá úměrnost

Veličiny jsou přímo úměrné, když jejich podíl je konstantní: y/x = k. Grafem je přímka procházející počátkem soustavy souřadnic.

Soustava lineárních rovnic

Dvě rovnice o dvou neznámých řešíme dosazovací nebo sčítací metodou. Geometricky hledáme průsečík dvou přímek v rovině.

Úloha o společné práci

Výkon pracovníka je převrácená hodnota doby 1/t. Společná doba dvou pracovníků se získá jako převrácená hodnota součtu jejich výkonů.

Úloha o pohybu

Dráha je součin rychlosti a času: s = v·t. Při protisměrném pohybu se rychlosti sčítají, při pohybu stejným směrem se odečítají.

Míšení roztoků

Množství rozpuštěné látky je koncentrace krát objem. Při míšení se látková množství jednotlivých složek sčítají, koncentrace výsledku je podíl celkového množství a objemu.

Součet úhlů trojúhelníku

Vnitřní úhly trojúhelníku dávají dohromady 180 stupňů, ve čtyřúhelníku 360 stupňů. Vnější úhel se rovná součtu dvou protilehlých vnitřních úhlů.

Obvodový a středový úhel

Středový úhel je dvakrát větší než obvodový úhel nad stejným obloukem kružnice. Thaletova věta říká, že úhel nad průměrem je pravý.

Podobnost trojúhelníků

Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud se shodují ve všech vnitřních úhlech. Poměry odpovídajících stran jsou stejné a obsahy jsou v poměru druhé mocniny koeficientu podobnosti.

Goniometrické funkce v trojúhelníku

Sinus je poměr protilehlé odvěsny k přeponě, kosinus přilehlé k přeponě, tangens protilehlé k přilehlé. Používají se k výpočtu stran a úhlů.

Objem válce a kužele

Válec má objem V = πr²v, kužel jednu třetinu tohoto objemu, tedy V = πr²v/3. Povrch válce tvoří dvě podstavy a plášť.

Znak nerovnosti při úpravách

Přičtení stejného čísla k oběma stranám nerovnost nemění. Násobení nebo dělení záporným číslem však směr nerovnosti obrací.

Absolutní hodnota

Absolutní hodnota |x| je vzdálenost čísla od nuly, tedy x pro nezáporné a −x pro záporné x. Rovnice |x| = a má řešení ±a pro a ≥ 0.

Zaokrouhlování výsledku

Mezivýsledky se nezaokrouhlují, aby se nehromadila chyba; zaokrouhluje se až konečný výsledek. Při převodu jednotek platí 1 l = 1 dm³ = 1000 cm³.

Faktoriál

Faktoriál n! je součin všech celých čísel od jedné do n, přičemž 0! = 1. Používá se při počítání permutací, variací a kombinací.