Scio NSZ Math cheat sheet

Úpravy výrazů: (a±b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b); a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).

Kvadratická rovnice ax² + bx + c = 0: diskriminant D = b² − 4ac; kořeny x = (−b ± √D)/(2a). D > 0 dva reálné kořeny, D = 0 jeden dvojnásobný, D < 0 žádný reálný.

Viètovy vztahy: x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a. Parabola y = ax² + bx + c má vrchol v x = −b/(2a).

Mocniny a odmocniny: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ); a⁰ = 1 pro a ≠ 0.

Logaritmy: logₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐ(x/y) = logₐx − logₐy; logₐ(xⁿ) = n·logₐx; logₐb = log b / log a; definiční obor x > 0.

Lineární funkce y = kx + q: k je směrnice, q průsečík s osou y. Rovnoběžky mají stejné k, kolmice mají k₁·k₂ = −1.

Procenta a poměry: část = základ × procento/100; změna o p % násobí hodnotou (1 ± p/100); trojčlenka řeší přímou i nepřímou úměrnost.

Nerovnice: při násobení nebo dělení záporným číslem se znaménko nerovnosti obrací; řešení kvadratické nerovnice určete znaménkem a u kořenů.

Pythagorova věta: v pravoúhlém trojúhelníku c² = a² + b², kde c je přepona. Goniometrie: sin = protilehlá/přepona, cos = přilehlá/přepona, tg = protilehlá/přilehlá.

Obsahy a obvody: trojúhelník S = a·v/2; kruh S = πr², o = 2πr; lichoběžník S = (a + c)·v/2; obdélník S = a·b.

Objemy a povrchy: kvádr V = abc; válec V = πr²v; kužel V = πr²v/3; koule V = 4πr³/3, povrch koule S = 4πr².

Aritmetická posloupnost: aₙ = a₁ + (n − 1)d; sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Geometrická: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹; sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) pro q ≠ 1.

Kombinatorika: počet permutací n! ; variací V(n,k) = n!/(n − k)!; kombinací C(n,k) = n!/(k!(n − k)!).

Pravděpodobnost jevu P(A) = počet příznivých výsledků / počet všech stejně možných výsledků; platí 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Souřadnice: vzdálenost bodů d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²); střed úsečky má souřadnice průměrů; směrnice přímky k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Úhly a trojúhelníky: součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°, ve čtyřúhelníku 360°; středový úhel je dvojnásobkem obvodového nad týmž obloukem.

Definiční obor: jmenovatel ≠ 0, sudá odmocnina má nezáporný argument, logaritmus kladný argument; průnik těchto podmínek je definiční obor.

Exponenciální funkce y = aˣ je rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1; graf vždy prochází bodem [0, 1].

Soustava dvou lineárních rovnic: řešte dosazovací nebo sčítací metodou; počet řešení určíte poměrem koeficientů (různé, rovnoběžné, totožné přímky).

Slovní úloha o pohybu: dráha s = v·t; při protisměrném pohybu se rychlosti sčítají, při stejném směru odečítají.

Směsi a koncentrace: množství látky = koncentrace × objem; při míšení platí součet množství látky před i po smíšení.

Úlohy o práci: výkon = 1/doba; společné výkony se sčítají, výsledná doba je převrácenou hodnotou součtu výkonů.

Funkční předpis z tabulky: ověřte konstantní diferenci (lineární) nebo konstantní podíl (exponenciální) mezi sousedními hodnotami.

Zaokrouhlování a jednotky: výsledek zaokrouhlete až na konci výpočtu; převody 1 km = 1000 m, 1 m² = 10 000 cm², 1 l = 1 dm³ = 1000 cm³.