Nyomdai selejt és Bayes-döntés
Egy iskolai nyomda két géppel készít plakátokat. Az A gép a napi 600 plakát 40%-át, a B gép a maradék 60%-át nyomtatja. Az A gépnél a selejtarány 2%, a B gépnél 5%. A nap végén a minőségellenőr véletlenszerűen kiválaszt egy plakátot, és azt selejtesnek találja. A megrendelő szerződése szerint a selejtes plakátok legfeljebb 40%-a származhat a B gépből; ha ennél több, a B gépet le kell állítani és újra kell kalibrálni. A nyomda vezetője szerint a B gép aránya nem lehet gond, mert a B gép csak a plakátok 60%-át készíti, és a selejtarány is csak 5%. Szeretnéd kiszámolni a tényleges feltételes valószínűséget, és eldönteni, hogy le kell-e állítani a B gépet. Másnap a kalibrálás után a B gép selejtarányát 3%-ra sikerül csökkenteni, de a termelés megoszlik: mindkét gép a plakátok 50-50%-át készíti. A szerződéses 40%-os határ változatlan. Kérdés, hogy ez a javítás elegendő-e.
1. Számold ki a P(B | selejtes) feltételes valószínűséget a kalibrálás előtti állapotra, és döntsd el, le kell-e állítani a B gépet.
Read the worked answer
Jelölje D a selejtest. P(A)=0,4, P(B)=0,6, P(D|A)=0,02, P(D|B)=0,05. Teljes valószínűség: P(D)=0,4·0,02+0,6·0,05=0,008+0,030=0,038. Bayes: P(B|D)=P(D|B)P(B)/P(D)=0,05·0,6/0,038=0,030/0,038≈0,789, azaz 78,9%. Ez jóval meghaladja a 40%-os szerződéses határt, ezért a B gépet le kell állítani és újra kell kalibrálni. A vezető érve félrevezető: a B gép nagyobb termelési aránya és magasabb selejtarányai együtt azt okozzák, hogy a selejtes darabok többsége B-ből származik.
2. A kalibrálás után P(A)=P(B)=0,5 és P(D|B)=0,03, P(D|A) változatlanul 0,02. Számold újra a P(B | selejtes) értéket, és mondd meg, hogy a 40%-os határ teljesül-e.
Read the worked answer
P(D)=0,5·0,02+0,5·0,03=0,010+0,015=0,025. P(B|D)=0,5·0,03/0,025=0,015/0,025=0,6, azaz 60%. A 40%-os határ nem teljesül, mert 60% > 40%. A selejtarány javítása 5%-ról 3%-ra és az arányok kiegyenlítése csökkentette a B részesedését a selejtesek között 78,9%-ról 60%-ra, de a szerződéses küszöbhöz még további javítás kell. Ha a B selejtarányát 1%-ra csökkentenék 50-50% termelés mellett, akkor P(B|D)=0,005/(0,010+0,005)=1/3≈33,3% lenne, ami már megfelelne.