Megtakarítási terv kihagyott hónappal
Egy diák nyári munkával 120 000 Ft-ot szeretne összegyűjteni december végére. Januárban 6 000 Ft-ot tesz félre, és minden következő hónapban 900 Ft-tal többet, mint az előző hónapban, egészen decemberig. Júliusban azonban külföldi tábor miatt egyetlen forintot sem tud félretenni, decemberben pedig a karácsonyi ajándékokra 8 000 Ft-ot kivesz a megtakarításából. A bank évente egyszer, december 31-én 2% kamatot ír jóvá a december 31-i egyenlegre, de csak akkor, ha az egyenleg eléri a 100 000 Ft-ot. A diák nem szeretne hitelt felvenni, és a havi befizetések összegét csak októbertől tudja módosítani, akkor viszont három hónapon keresztül ugyanazzal a plusz összeggel tudja növelni a tervezett befizetést. Szeretnéd tudni, hogy a jelenlegi terv mekkora egyenleget ad kamat nélkül, teljesül-e a 120 000 Ft, és mekkora állandó plusz összeg kell októbertől a cél eléréséhez. A kamatot a döntésnél még nem számítod bele, mert a bank jóváírása bizonytalan.
1. Számold ki a december 31-i egyenleget kamat nélkül a jelenlegi terv szerint, és döntsd el, eléri-e a 120 000 Ft-ot.
Read the worked answer
A havi befizetések január–december között számtani sorozatot alkotnak: a_n=6000+(n-1)·900. 12 hónap összege S_12=12/2·(2·6000+11·900)=6·(12000+9900)=6·21900=131400 Ft. Júliusban nincs befizetés, ezért ki kell vonni a 7. tagot: a_7=6000+6·900=11400 Ft. Decemberben 8000 Ft-ot kiveszünk, ezért az egyenleg 131400−11400−8000=112000 Ft. Ez 8000 Ft-tal kevesebb a 120000 Ft-os célnál, tehát a jelenlegi terv nem teljesíti a célt.
2. Októbertől decemberig három hónapon át ugyanazzal a plusz összeggel növeled a tervezett befizetést. Mekkora a legkisebb egész forintösszeg, amellyel a cél elérhető kamat nélkül? Miért nem elég 2600 Ft?
Read the worked answer
A hiány 8000 Ft. Három hónap áll rendelkezésre, ezért 3x ≥ 8000, azaz x ≥ 2666,67 Ft. Egész forintban a legkisebb megfelelő összeg 2700 Ft. 2600 Ft-tal a többlet 3·2600=7800 Ft lenne, ami 200 Ft-tal kevesebb a 8000 Ft-os hiánynál, így az egyenleg 119800 Ft lenne, nem érné el a célt. 2700 Ft-tal a többlet 8100 Ft, az egyenleg 120100 Ft, tehát a cél teljesül. A banki 2% kamatot a feladat döntési részében nem számoljuk bele, mert a jóváírás feltételes.