Büfé szendvicskészlet maximalizálása
Az iskolai büfé kétféle szendvicset készít: sajtosat (S) és sonkásat (H). Egy sajtos szendvicshez 2 szelet kenyér, 1 szelet sajt és 2 dkg vaj kell; egy sonkás szendvicshez 2 szelet kenyér, 2 szelet sonka és 1 dkg vaj. A heti készlet: 60 szelet kenyér, 40 szelet sajt, 30 szelet sonka és 45 dkg vaj. A büfé vezetője legalább 10 sajtos és legalább 8 sonkás szendvicset szeretne készíteni, mert a diákok ezeket keresik. A sajtos szendvicsen 250 Ft, a sonkásan 400 Ft nyereség van. A szendvicseket egész darabszámban kell elkészíteni, és a készletet nem lehet túllépni. A büfé azt tervezi, hogy 15 sajtos és 18 sonkás szendvicset készít, mert így a sonkásból többet ad el. Szeretnéd ellenőrizni, hogy ez a terv megvalósítható-e, és ha nem, mekkora a maximális nyereség a feltételek mellett. A nyereségen kívül más szempontot most nem veszünk figyelembe.
1. Írd fel a sajtos (S) és sonkás (H) szendvicsek számára vonatkozó egyenlőtlenségeket, és ellenőrizd a 15 sajtos + 18 sonkás tervet.
Read the worked answer
Feltételek: S≥10, H≥8, 2S+2H≤60 (kenyér), S≤40 (sajt), 2H≤30 (sonka), 2S+H≤45 (vaj), valamint S,H egész. A 15 sajtos és 18 sonkás tervnél kenyér: 2·15+2·18=30+36=66>60, sonka: 2·18=36>30, vaj: 2·15+18=48>45. Már a kenyér és a sonka feltétele is sérül, ezért a terv nem valósítható meg.
2. Határozd meg a maximális nyereséget a feltételek mellett, és add meg a hozzá tartozó darabszámokat.
Read the worked answer
A profit P=250S+400H. A sonkás szendvics darabonként 150 Ft-tal jövedelmezőbb, de sonkából legfeljebb H≤15 jön ki. A kenyér feltétel S+H≤30, a vaj feltétel 2S+H≤45. Mivel a profit mindkét változóban nő, a megengedett tartomány felső határán érdemes vizsgálni. H=15 esetén a vaj: 2S+15≤45, azaz S≤15; a kenyér: S+15≤30, azaz S≤15. Így S=15, H=15 megengedett, és a profit 250·15+400·15=3750+6000=9750 Ft. Ellenőrizzük a többi sarokpontot: H=8 esetén a vaj S≤(45−8)/2=18,5, a kenyér S≤22, ezért S=18; profit 250·18+400·8=4500+3200=7700 Ft. H=15, S=15 már jobb. H=15 mellett S nem növelhető tovább, ezért a maximum 9750 Ft, 15 sajtos és 15 sonkás szendviccsel. A sonkásból többet nem lehet, mert a sonka és a vaj is szűk keresztmetszet.