Wirkstoffkonzentration: Maximum, Aussagekraft und AUC
Ein Wirkstoff wird injiziert. Seine Konzentration im Blut (in mg/L) wird für t ≥ 0 (in Stunden) durch C(t) = 8t·e^(−0,5t) modelliert. Ein Prüflabor behauptet, die Konzentration steige zunächst an, erreiche nach genau zwei Stunden ihr Maximum und falle danach wieder; nach zwölf Stunden seien weniger als 0,5 mg/L im Blut. Zusätzlich soll die Fläche unter der Kurve von 0 bis 10 Stunden (AUC) bestimmt werden, weil sie die Gesamtexposition des Patienten beschreibt. Ein Mitarbeiter will das Maximum nur über eine Wertetabelle schätzen, eine Kollegin plädiert für die Ableitung. Für die Zulassung ist außerdem zu klären, ob das Modell über zehn Stunden hinaus belastbar ist, da dann andere Abbauprozesse einsetzen können. Die Prüfstelle verlangt eine begründete Stellungnahme, keine reine Rechnung, und einen Vergleich der beiden Schätzwege.
1. Bestimmen Sie Zeitpunkt und Wert der maximalen Konzentration und begründen Sie, warum es sich um ein globales Maximum für t ≥ 0 handelt. Gehen Sie auch auf den Vorschlag ein, nur eine Wertetabelle zu verwenden.
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Mit der Produktregel gilt C′(t) = 8·e^(−0,5t) + 8t·(−0,5)·e^(−0,5t) = 8·e^(−0,5t)·(1 − 0,5t). Die Nullstelle der Ableitung folgt aus 1 − 0,5t = 0, also t = 2. Für 0 ≤ t < 2 ist 1 − 0,5t > 0 und damit C′(t) > 0; für t > 2 ist C′(t) < 0. Also liegt bei t = 2 ein lokales Maximum. Wegen C(0) = 0, C(t) > 0 für t > 0 und C(t) → 0 für t → ∞ sowie wegen des eindeutigen Vorzeichenwechsels ist es das globale Maximum auf [0; ∞). Der Wert ist C(2) = 16·e^(−1) ≈ 5,89 mg/L. Eine Wertetabelle kann den Verdacht stützen, ersetzt aber den Vorzeichenwechsel nicht: Sie kann ein Maximum zwischen den abgelesenen Stellen übersehen und liefert keinen Beweis für die Globalität.
2. Prüfen Sie die Behauptung, nach zwölf Stunden seien weniger als 0,5 mg/L im Blut, und beurteilen Sie die Modellgültigkeit für t > 10 im Kontext.
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Einsetzen ergibt C(12) = 8·12·e^(−6) = 96·e^(−6). Mit e^(−6) ≈ 0,002479 folgt C(12) ≈ 0,238 mg/L, also tatsächlich weniger als 0,5 mg/L. Die Behauptung ist im Modell bestätigt. Damit ist aber nicht gezeigt, dass das Modell auch für t > 10 gilt: Das Exponentialmodell unterstellt einen konstanten relativen Abbau. Bei sehr kleinen Konzentrationen können andere Prozesse wie Bindung, Rückresorption oder Nachweisgrenzen wichtiger werden. Für die Zulassung wäre der Bereich t > 10 nur als Extrapolation mit Unsicherheitsangabe zu verwenden; belastbar wäre er erst mit zusätzlichen Messdaten.
3. Berechnen Sie die AUC von 0 bis 10 und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.
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Es ist AUC = ∫₀¹⁰ 8t·e^(−0,5t) dt. Eine Stammfunktion ist F(t) = −8·(2t + 4)·e^(−0,5t). Damit gilt AUC = F(10) − F(0) = [−8·24·e^(−5)] − [−8·4] = 32 − 192·e^(−5) ≈ 32 − 1,294 = 30,706. Also beträgt die AUC etwa 30,7 (mg/L)·h. Sie beschreibt die kumulierte Wirkstoffexposition als Fläche unter der Konzentrations-Zeit-Kurve. Ein Vergleich mit anderen Dosierungen ist nur sinnvoll, wenn dasselbe Zeitfenster und dieselbe Einheit verwendet werden.