Berlin Abitur Math LK cheat sheet

Ableitung: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x.

Produktregel (u·v)' = u'v + uv'; Quotientenregel (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kettenregel [u(v(x))]' = u'(v(x))·v'(x).

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f'(x₀)=0 und f''(x₀) < 0 → Hochpunkt, f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt, f''(x₀)=0 → Vorzeichenwechsel von f' prüfen.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f''' (x₀) ≠ 0; Krümmungswechsel von links (f''>0) nach rechts (f''<0) bzw. umgekehrt.

Tangente an f in x₀: y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀); Normale: y = −(1/f'(x₀))·(x − x₀) + f(x₀) für f'(x₀) ≠ 0.

Stammfunktion: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫sin x dx = −cos x + C.

Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, Schnittstellen als Grenzen bestimmen.

Substitution: ∫f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C; Grenzen mitsubstituieren (x = a → u = g(a)). Partielle Integration: ∫u·v' = uv − ∫u'·v.

Wachstum: exponentiell f(t) = a·e^(kt) mit k = ln(b) bei Faktor b pro Zeiteinheit; beschränkt: f(t) = S − (S − f(0))·e^(−kt) mit S als Schranke; Verdopplungszeit t = ln 2 / k.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0. Betrag |a⃗| = √(a⃗·a⃗). Winkel: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|).

Kreuzprodukt a⃗×b⃗ liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor; |a⃗×b⃗| ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗ (Stützvektor a⃗, Richtungsvektor u⃗). Ebene in Parameterform: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗; in Normalenform: n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Lage Gerade–Ebene: u⃗·n⃗ ≠ 0 → genau ein Schnittpunkt; u⃗·n⃗ = 0 und n⃗·(a⃗ − p⃗) = 0 → Gerade liegt in der Ebene; sonst parallel und echt.

Abstand Punkt–Ebene (Koordinatenform): d = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d₀| / |n⃗|. Abstand Punkt–Gerade über Hilfsebene oder Lotfußpunkt.

Hesse-Normalenform: (n⃗/|n⃗|)·(x⃗ − a⃗) = 0; Einsetzen eines Punktes liefert den vorzeichenbehafteten Abstand zur Ebene.

Schnittwinkel zweier Ebenen über den Winkel ihrer Normalenvektoren; Schnittwinkel Gerade–Ebene über sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|).

Lineares Gleichungssystem A·x⃗ = b⃗: eindeutig lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) = Anzahl Unbekannter; unendlich viele Lösungen, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) < Anzahl Unbekannter; sonst unlösbar.

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ; A·B nur definiert, wenn Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B ist. Übergangsmatrizen wirken auf Spaltenvektoren.

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k); Erwartungswert μ = n·p; Varianz σ² = n·p·(1−p); Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Mindestens-/höchstens-Wahrscheinlichkeiten über die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1); kumulierte Werte aus der Tabelle der Binomialverteilung ablesen.

Sigma-Regeln (Näherung): P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3 %; P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4 %; P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7 %.

Standardisierung: Z = (X − μ)/σ; für n·p·(1−p) > 9 ist X näherungsweise normalverteilt, dann P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − μ)/σ) mit Stetigkeitskorrektur.

Drei-Punkte-Aufgabe: gesucht n mit P(X ≥ 1) ≥ 0,99 → 1 − (1−p)^n ≥ 0,99 → n ≥ ln(0,01)/ln(1−p).

Zweiseitiger Signifikanztest: H₀: p = p₀; Ablehnungsbereich so wählen, dass P(Ablehnung | p₀) ≤ α; Grenzen über die Sigma-Umgebung von μ₀ = n·p₀ bestimmen.

Fehler 1. Art (α): H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art (β): H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist; β hängt vom tatsächlichen p ab.

Baumdiagramm: Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades), Summenregel (Addition verschiedener Pfade). Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A)·P(B) ⇔ P(A|B) = P(A). Vierfeldertafel liefert alle Rand- und Schnittwahrscheinlichkeiten konsistent.

Ableitung: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x.

Produktregel (u·v)' = u'v + uv'; Quotientenregel (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kettenregel [u(v(x))]' = u'(v(x))·v'(x).

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f'(x₀)=0 und f''(x₀) < 0 → Hochpunkt, f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt, f''(x₀)=0 → Vorzeichenwechsel von f' prüfen.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0; Krümmungswechsel von links (f''>0) nach rechts (f''<0) bzw. umgekehrt.

Tangente an f in x₀: y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀); Normale: y = −(1/f'(x₀))·(x − x₀) + f(x₀) für f'(x₀) ≠ 0.

Stammfunktion: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫sin x dx = −cos x + C.

Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, Schnittstellen als Grenzen bestimmen.

Substitution: ∫f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C; Grenzen mitsubstituieren (x = a → u = g(a)). Partielle Integration: ∫u·v' = uv − ∫u'·v.

Wachstum: exponentiell f(t) = a·e^(kt) mit k = ln(b) bei Faktor b pro Zeiteinheit; beschränkt: f(t) = S − (S − f(0))·e^(−kt) mit S als Schranke; Verdopplungszeit t = ln 2 / k.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0. Betrag |a⃗| = √(a⃗·a⃗). Winkel: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|).

Kreuzprodukt a⃗×b⃗ liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor; |a⃗×b⃗| ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗ (Stützvektor a⃗, Richtungsvektor u⃗). Ebene in Parameterform: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗; in Normalenform: n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Lage Gerade–Ebene: u⃗·n⃗ ≠ 0 → genau ein Schnittpunkt; u⃗·n⃗ = 0 und n⃗·(a⃗ − p⃗) = 0 → Gerade liegt in der Ebene; sonst parallel und echt.

Abstand Punkt–Ebene (Koordinatenform): d = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d₀| / |n⃗|. Abstand Punkt–Gerade über Hilfsebene oder Lotfußpunkt.

Hesse-Normalenform: (n⃗/|n⃗|)·(x⃗ − a⃗) = 0; Einsetzen eines Punktes liefert den vorzeichenbehafteten Abstand zur Ebene.

Schnittwinkel zweier Ebenen über den Winkel ihrer Normalenvektoren; Schnittwinkel Gerade–Ebene über sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|).

Lineares Gleichungssystem A·x⃗ = b⃗: eindeutig lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) = Anzahl Unbekannter; unendlich viele Lösungen, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) < Anzahl Unbekannter; sonst unlösbar.

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ; A·B nur definiert, wenn Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B ist. Übergangsmatrizen wirken auf Spaltenvektoren.

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k); Erwartungswert μ = n·p; Varianz σ² = n·p·(1−p); Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Mindestens-/höchstens-Wahrscheinlichkeiten über die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1); kumulierte Werte aus der Tabelle der Binomialverteilung ablesen.

Sigma-Regeln (Näherung): P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3 %; P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4 %; P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7 %.

Standardisierung: Z = (X − μ)/σ; für n·p·(1−p) > 9 ist X näherungsweise normalverteilt, dann P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − μ)/σ) mit Stetigkeitskorrektur.

Drei-Punkte-Aufgabe: gesucht n mit P(X ≥ 1) ≥ 0,99 → 1 − (1−p)^n ≥ 0,99 → n ≥ ln(0,01)/ln(1−p).

Zweiseitiger Signifikanztest: H₀: p = p₀; Ablehnungsbereich so wählen, dass P(Ablehnung | p₀) ≤ α; Grenzen über die Sigma-Umgebung von μ₀ = n·p₀ bestimmen.

Fehler 1. Art (α): H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art (β): H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist; β hängt vom tatsächlichen p ab.

Baumdiagramm: Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades), Summenregel (Addition verschiedener Pfade). Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A)·P(B) ⇔ P(A|B) = P(A). Vierfeldertafel liefert alle Rand- und Schnittwahrscheinlichkeiten konsistent.

Ableitung: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x.

Produktregel (u·v)' = u'v + uv'; Quotientenregel (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kettenregel [u(v(x))]' = u'(v(x))·v'(x).

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f'(x₀)=0 und f''(x₀) < 0 → Hochpunkt, f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt, f''(x₀)=0 → Vorzeichenwechsel von f' prüfen.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0; Krümmungswechsel von links (f''>0) nach rechts (f''<0) bzw. umgekehrt.

Tangente an f in x₀: y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀); Normale: y = −(1/f'(x₀))·(x − x₀) + f(x₀) für f'(x₀) ≠ 0.

Stammfunktion: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫sin x dx = −cos x + C.

Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, Schnittstellen als Grenzen bestimmen.

Substitution: ∫f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C; Grenzen mitsubstituieren (x = a → u = g(a)). Partielle Integration: ∫u·v' = uv − ∫u'·v.

Wachstum: exponentiell f(t) = a·e^(kt) mit k = ln(b) bei Faktor b pro Zeiteinheit; beschränkt: f(t) = S − (S − f(0))·e^(−kt) mit S als Schranke; Verdopplungszeit t = ln 2 / k.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0. Betrag |a⃗| = √(a⃗·a⃗). Winkel: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|).

Kreuzprodukt a⃗×b⃗ liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor; |a⃗×b⃗| ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗ (Stützvektor a⃗, Richtungsvektor u⃗). Ebene in Parameterform: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗; in Normalenform: n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Lage Gerade–Ebene: u⃗·n⃗ ≠ 0 → genau ein Schnittpunkt; u⃗·n⃗ = 0 und n⃗·(a⃗ − p⃗) = 0 → Gerade liegt in der Ebene; sonst parallel und echt.

Abstand Punkt–Ebene (Koordinatenform): d = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d₀| / |n⃗|. Abstand Punkt–Gerade über Hilfsebene oder Lotfußpunkt.

Hesse-Normalenform: (n⃗/|n⃗|)·(x⃗ − a⃗) = 0; Einsetzen eines Punktes liefert den vorzeichenbehafteten Abstand zur Ebene.

Schnittwinkel zweier Ebenen über den Winkel ihrer Normalenvektoren; Schnittwinkel Gerade–Ebene über sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|).

Lineares Gleichungssystem A·x⃗ = b⃗: eindeutig lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) = Anzahl Unbekannter; unendlich viele Lösungen, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) < Anzahl Unbekannter; sonst unlösbar.

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ; A·B nur definiert, wenn Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B ist. Übergangsmatrizen wirken auf Spaltenvektoren.

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k); Erwartungswert μ = n·p; Varianz σ² = n·p·(1−p); Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Mindestens-/höchstens-Wahrscheinlichkeiten über die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1); kumulierte Werte aus der Tabelle der Binomialverteilung ablesen.

Sigma-Regeln (Näherung): P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3 %; P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4 %; P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7 %.

Standardisierung: Z = (X − μ)/σ; für n·p·(1−p) > 9 ist X näherungsweise normalverteilt, dann P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − μ)/σ) mit Stetigkeitskorrektur.

Drei-Punkte-Aufgabe: gesucht n mit P(X ≥ 1) ≥ 0,99 → 1 − (1−p)^n ≥ 0,99 → n ≥ ln(0,01)/ln(1−p).

Zweiseitiger Signifikanztest: H₀: p = p₀; Ablehnungsbereich so wählen, dass P(Ablehnung | p₀) ≤ α; Grenzen über die Sigma-Umgebung von μ₀ = n·p₀ bestimmen.

Fehler 1. Art (α): H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art (β): H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist; β hängt vom tatsächlichen p ab.

Baumdiagramm: Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades), Summenregel (Addition verschiedener Pfade). Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A)·P(B) ⇔ P(A|B) = P(A). Vierfeldertafel liefert alle Rand- und Schnittwahrscheinlichkeiten konsistent.

Ableitung: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x.

Produktregel (u·v)' = u'v + uv'; Quotientenregel (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kettenregel [u(v(x))]' = u'(v(x))·v'(x).

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f'(x₀)=0 und f''(x₀) < 0 → Hochpunkt, f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt, f''(x₀)=0 → Vorzeichenwechsel von f' prüfen.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0; Krümmungswechsel von links (f''>0) nach rechts (f''<0) bzw. umgekehrt.

Tangente an f in x₀: y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀); Normale: y = −(1/f'(x₀))·(x − x₀) + f(x₀) für f'(x₀) ≠ 0.

Stammfunktion: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫sin x dx = −cos x + C.

Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, Schnittstellen als Grenzen bestimmen.

Substitution: ∫f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C; Grenzen mitsubstituieren (x = a → u = g(a)). Partielle Integration: ∫u·v' = uv − ∫u'·v.

Wachstum: exponentiell f(t) = a·e^(kt) mit k = ln(b) bei Faktor b pro Zeiteinheit; beschränkt: f(t) = S − (S − f(0))·e^(−kt) mit S als Schranke; Verdopplungszeit t = ln 2 / k.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0. Betrag |a⃗| = √(a⃗·a⃗). Winkel: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|).

Kreuzprodukt a⃗×b⃗ liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor; |a⃗×b⃗| ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗ (Stützvektor a⃗, Richtungsvektor u⃗). Ebene in Parameterform: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗; in Normalenform: n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Lage Gerade–Ebene: u⃗·n⃗ ≠ 0 → genau ein Schnittpunkt; u⃗·n⃗ = 0 und n⃗·(a⃗ − p⃗) = 0 → Gerade liegt in der Ebene; sonst parallel und echt.

Abstand Punkt–Ebene (Koordinatenform): d = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d₀| / |n⃗|. Abstand Punkt–Gerade über Hilfsebene oder Lotfußpunkt.

Hesse-Normalenform: (n⃗/|n⃗|)·(x⃗ − a⃗) = 0; Einsetzen eines Punktes liefert den vorzeichenbehafteten Abstand zur Ebene.

Schnittwinkel zweier Ebenen über den Winkel ihrer Normalenvektoren; Schnittwinkel Gerade–Ebene über sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|).

Lineares Gleichungssystem A·x⃗ = b⃗: eindeutig lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) = Anzahl Unbekannter; unendlich viele Lösungen, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) < Anzahl Unbekannter; sonst unlösbar.

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ; A·B nur definiert, wenn Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B ist. Übergangsmatrizen wirken auf Spaltenvektoren.

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k); Erwartungswert μ = n·p; Varianz σ² = n·p·(1−p); Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Mindestens-/höchstens-Wahrscheinlichkeiten über die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1); kumulierte Werte aus der Tabelle der Binomialverteilung ablesen.

Sigma-Regeln (Näherung): P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3 %; P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4 %; P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7 %.

Standardisierung: Z = (X − μ)/σ; für n·p·(1−p) > 9 ist X näherungsweise normalverteilt, dann P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − μ)/σ) mit Stetigkeitskorrektur.

Drei-Punkte-Aufgabe: gesucht n mit P(X ≥ 1) ≥ 0,99 → 1 − (1−p)^n ≥ 0,99 → n ≥ ln(0,01)/ln(1−p).

Zweiseitiger Signifikanztest: H₀: p = p₀; Ablehnungsbereich so wählen, dass P(Ablehnung | p₀) ≤ α; Grenzen über die Sigma-Umgebung von μ₀ = n·p₀ bestimmen.

Fehler 1. Art (α): H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art (β): H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist; β hängt vom tatsächlichen p ab.

Baumdiagramm: Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades), Summenregel (Addition verschiedener Pfade). Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A)·P(B) ⇔ P(A|B) = P(A). Vierfeldertafel liefert alle Rand- und Schnittwahrscheinlichkeiten konsistent.

Ableitung: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x.

Produktregel (u·v)' = u'v + uv'; Quotientenregel (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kettenregel [u(v(x))]' = u'(v(x))·v'(x).

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f'(x₀)=0 und f''(x₀) < 0 → Hochpunkt, f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt, f''(x₀)=0 → Vorzeichenwechsel von f' prüfen.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0; Krümmungswechsel von links (f''>0) nach rechts (f''<0) bzw. umgekehrt.

Tangente an f in x₀: y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀); Normale: y = −(1/f'(x₀))·(x − x₀) + f(x₀) für f'(x₀) ≠ 0.

Stammfunktion: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫sin x dx = −cos x + C.

Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, Schnittstellen als Grenzen bestimmen.

Substitution: ∫f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C; Grenzen mitsubstituieren (x = a → u = g(a)). Partielle Integration: ∫u·v' = uv − ∫u'·v.

Wachstum: exponentiell f(t) = a·e^(kt) mit k = ln(b) bei Faktor b pro Zeiteinheit; beschränkt: f(t) = S − (S − f(0))·e^(−kt) mit S als Schranke; Verdopplungszeit t = ln 2 / k.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0. Betrag |a⃗| = √(a⃗·a⃗). Winkel: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|).

Kreuzprodukt a⃗×b⃗ liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor; |a⃗×b⃗| ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗ (Stützvektor a⃗, Richtungsvektor u⃗). Ebene in Parameterform: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗; in Normalenform: n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Lage Gerade–Ebene: u⃗·n⃗ ≠ 0 → genau ein Schnittpunkt; u⃗·n⃗ = 0 und n⃗·(a⃗ − p⃗) = 0 → Gerade liegt in der Ebene; sonst parallel und echt.

Abstand Punkt–Ebene (Koordinatenform): d = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d₀| / |n⃗|. Abstand Punkt–Gerade über Hilfsebene oder Lotfußpunkt.

Hesse-Normalenform: (n⃗/|n⃗|)·(x⃗ − a⃗) = 0; Einsetzen eines Punktes liefert den vorzeichenbehafteten Abstand zur Ebene.

Schnittwinkel zweier Ebenen über den Winkel ihrer Normalenvektoren; Schnittwinkel Gerade–Ebene über sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|).

Lineares Gleichungssystem A·x⃗ = b⃗: eindeutig lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) = Anzahl Unbekannter; unendlich viele Lösungen, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) < Anzahl Unbekannter; sonst unlösbar.

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ; A·B nur definiert, wenn Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B ist. Übergangsmatrizen wirken auf Spaltenvektoren.

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k); Erwartungswert μ = n·p; Varianz σ² = n·p·(1−p); Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Mindestens-/höchstens-Wahrscheinlichkeiten über die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1); kumulierte Werte aus der Tabelle der Binomialverteilung ablesen.

Sigma-Regeln (Näherung): P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3 %; P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4 %; P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7 %.

Standardisierung: Z = (X − μ)/σ; für n·p·(1−p) > 9 ist X näherungsweise normalverteilt, dann P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − μ)/σ) mit Stetigkeitskorrektur.

Drei-Punkte-Aufgabe: gesucht n mit P(X ≥ 1) ≥ 0,99 → 1 − (1−p)^n ≥ 0,99 → n ≥ ln(0,01)/ln(1−p).

Zweiseitiger Signifikanztest: H₀: p = p₀; Ablehnungsbereich so wählen, dass P(Ablehnung | p₀) ≤ α; Grenzen über die Sigma-Umgebung von μ₀ = n·p₀ bestimmen.

Fehler 1. Art (α): H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art (β): H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist; β hängt vom tatsächlichen p ab.

Baumdiagramm: Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades), Summenregel (Addition verschiedener Pfade). Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A)·P(B) ⇔ P(A|B) = P(A). Vierfeldertafel liefert alle Rand- und Schnittwahrscheinlichkeiten konsistent.